© Show that symmetry is preserved by Lorentz transformations - that is, if
is symmetric, so too is
. What about antisymmetry?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a simetria de um tensor
é mantida quando aplicamos uma transformação de Lorentz. Além disso, pergunta se a antissimetria também é preservada. Estamos trabalhando com transformações de Lorentz, que são fundamentais na teoria da relatividade de Einstein, e com tensores simétricos e antissimétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de Lorentz. Essas transformações mudam as coordenadas de um sistema de referência para outro que está se movendo a uma velocidade constante em relação ao primeiro, mantendo a velocidade da luz constante. Matematicamente, elas são representadas por uma matriz
que transforma as coordenadas:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um tensor ser simétrico. Um tensor
é simétrico se
para todos os índices
e
. Isso significa que a ordem dos índices não altera o valor do tensor.
Passo 4
Para ver se a simetria é preservada, vamos aplicar a transformação de Lorentz no tensor
. A transformação de um tensor de segunda ordem é dada por:
Passo 5
Assumindo que
é simétrico, ou seja,
, vamos trocar os índices
e
na expressão acima:
Mas como
, podemos escrever:
Isso mostra que
, ou seja,
também é simétrico.
Passo 6
Agora, vamos analisar a antissimetria. Um tensor
é antissimétrico se
. Vamos aplicar a transformação de Lorentz:
Trocando os índices
e
:
Isso mostra que
, ou seja, a antissimetria também é preservada pelas transformações de Lorentz.
Resposta
Portanto, as transformações de Lorentz preservam tanto a simetria quanto a antissimetria dos tensores. Se
é simétrico, então
também é simétrico. Da mesma forma, se um tensor é antissimétrico, sua transformação também manterá essa propriedade.
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and
, find:
,
, and
. Characterize
and
as timelike, spacelike, or lightlike.
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