© Show that symmetry is preserved by Lorentz transformations - that is, if s^mu nu is symmetric, so too is s^mu nu prime. What about antisymmetry?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a simetria de um tensor é mantida quando aplicamos uma transformação de Lorentz. Além disso, pergunta se a antissimetria também é preservada. Estamos trabalhando com transformações de Lorentz, que são fundamentais na teoria da relatividade de Einstein, e com tensores simétricos e antissimétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de Lorentz. Essas transformações mudam as coordenadas de um sistema de referência para outro que está se movendo a uma velocidade constante em relação ao primeiro, mantendo a velocidade da luz constante. Matematicamente, elas são representadas por uma matriz x'^mu = Lambda^mu nu x^nu que transforma as coordenadas:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um tensor ser simétrico. Um tensor é simétrico se para todos os índices e . Isso significa que a ordem dos índices não altera o valor do tensor.

Passo 4

Para ver se a simetria é preservada, vamos aplicar a transformação de Lorentz no tensor s'^mu nu = Lambda^mu alpha Lambda^nu beta s^alpha beta . A transformação de um tensor de segunda ordem é dada por:

Passo 5

Assumindo que s'^mu nu = Lambda^mu beta Lambda^nu alpha s^beta alpha é simétrico, ou seja, s'^mu nu = Lambda^mu beta Lambda^nu alpha s^alpha beta = Lambda^mu alpha Lambda^nu beta s^alpha beta , vamos trocar os índices e na expressão acima:
Mas como , podemos escrever:
Isso mostra que , ou seja, também é simétrico.

Passo 6

Agora, vamos analisar a antissimetria. Um tensor a'^mu nu = Lambda^mu alpha Lambda^nu beta a^alpha beta é antissimétrico se a'^mu nu = Lambda^mu beta Lambda^nu alpha a^beta alpha = Lambda^mu beta Lambda^nu alpha (-a^alpha beta) = -Lambda^mu alpha Lambda^nu beta a^alpha beta = -a'^nu mu . Vamos aplicar a transformação de Lorentz:
Trocando os índices e :
Isso mostra que , ou seja, a antissimetria também é preservada pelas transformações de Lorentz.

Resposta

Portanto, as transformações de Lorentz preservam tanto a simetria quanto a antissimetria dos tensores. Se é simétrico, então também é simétrico. Da mesma forma, se um tensor é antissimétrico, sua transformação também manterá essa propriedade.

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