Given two points P1(1,2,3) and P2(-1,0,2) in Cartesian coordinates, write the expressions of the vectors 1P1 P2 and P2 P1.

Passo 1

Então, o exercício nos dá duas coordenadas no espaço cartesiano: P1(1,2,3) e P2(-1,0,2). A matéria que vamos usar aqui é vetores no espaço tridimensional. Precisamos encontrar as expressões dos vetores 1P1 P2 e P2 P1. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular a diferença entre as coordenadas dos pontos para formar os vetores e como normalizá-los quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor P2 P1. Esse vetor vai de P2 até P1. Para encontrar as componentes desse vetor, subtraímos as coordenadas de P2 das coordenadas de P1:
P2 P1 = P1 - P2 = (1 - (-1), 2 - 0, 3 - 2) = (2, 2, 1)

Passo 3

Agora, vamos interpretar o vetor 1P1 P2. Esse símbolo geralmente representa o vetor unitário na direção de P1 P2. Para encontrar esse vetor, primeiro calculamos o vetor P1 P2, que vai de P1 até P2:
P1 P2 = P2 - P1 = (-1 - 1, 0 - 2, 2 - 3) = (-2, -2, -1)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse vetor P1 P2. O módulo de um vetor (a, b, c) é dado por:
|P1 P2| = raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor unitário 1P1 P2, dividimos cada componente do vetor P1 P2 pelo seu módulo:
1P1 P2 = P1 P2|P1 P2| = ( -23, -23, -13 )

Resposta

As expressões dos vetores são:
1P1 P2 = ( -23, -23, -13 )
P2 P1 = (2, 2, 1)

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