Write down the results of A cdot B and A times B if (a) A | B, and (b) A perp B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o produto escalar ( A cdot B) e o produto vetorial ( A times B) de dois vetores A e B em dois casos: quando eles são paralelos ( A | B) e quando são perpendiculares ( A perp B). Para resolver isso, vamos lembrar das definições de produto escalar e produto vetorial e ver como eles se comportam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, o produto escalar de dois vetores é dado por:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
onde theta é o ângulo entre os vetores.
O produto vetorial é dado por:
A times B = |A| cdot |B| cdot sin(theta) cdot n
onde n é um vetor unitário perpendicular aos dois vetores.

Passo 3

Vamos analisar o caso (a): A | B. Quando os vetores são paralelos, o ângulo entre eles, theta, é 0 graus.
Calculando o produto escalar:
cos(0) = 1 Rightarrow A cdot B = |A| cdot |B| cdot 1 = |A| cdot |B|
Para o produto vetorial:
sin(0) = 0 Rightarrow A times B = |A| cdot |B| cdot 0 cdot n = 0
Então, o produto vetorial é o vetor nulo quando os vetores são paralelos.

Passo 4

Agora, o caso (b): A perp B. Aqui, o ângulo entre os vetores, theta, é 90 graus.
Calculando o produto escalar:
cos(90^circ) = 0 Rightarrow A cdot B = |A| cdot |B| cdot 0 = 0
Para o produto vetorial:
sin(90^circ) = 1 Rightarrow A times B = |A| cdot |B| cdot 1 cdot n = |A| cdot |B| cdot n
Aqui, o produto vetorial tem magnitude igual ao produto dos comprimentos dos vetores e direção perpendicular a ambos.

Resposta

(a) Se A | B, então A cdot B = |A| cdot |B| e A times B = 0.
(b) Se A perp B, então A cdot B = 0 e A times B = |A| cdot |B| cdot n.

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