integral yraizy-2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integração que envolve uma função racional e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos integral u + 2raizu , du na integral. Sabemos que , então a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a fração:
integral ( uraizu + 2raizu ) du = integral raizu , du + 2 integral u^-1/2 , du
Aqui, usamos que e .

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral raizu , du = 23 u^3/2 e 2 integral u^-1/2 , du = 4 u^1/2 é quando :

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
23 u^3/2 + 4 u^1/2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 23 (y - 2)^3/2 + 4 (y - 2)^1/2 + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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