Um gráfico barX é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída. Sabe-se que sigma=6,0 e n=4. Os limites de controle superior e inferior são, respectivamente, L S C=209 e L I C=191.
d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente.
Resp.: 0,84134 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gráfico de médias barX que monitora a média de uma característica de qualidade que segue uma distribuição normal. Sabemos que o desvio padrão populacional sigma é 6,0 e o tamanho da amostra n é 4. Os limites de controle superior (LSC) e inferior (LIC) são 209 e 191, respectivamente. Precisamos descobrir qual a probabilidade de detectar um deslocamento na média do processo para 188 na próxima amostra.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o conceito de gráfico de controle para médias (Xbar). Esse gráfico nos ajuda a monitorar se a média do processo está dentro dos limites esperados ou se houve alguma variação significativa.

Passo 3

Primeiro, calculamos o desvio padrão da média da amostra, que é chamado de erro padrão. A fórmula para isso é:
sigmabarX = sigmaraizn
Substituindo os valores:
sigmabarX = 6,0raiz4 = 6,02 = 3,0

Passo 4

Agora, vamos encontrar o z-score que corresponde ao novo valor da média do processo, que é 188. O z-score nos diz quantos desvios padrão o valor está distante da média original.
A fórmula do z-score é:
z = barX - musigmabarX
Onde:
  • barX = 188
  • mu é a média original do processo. Sabemos que os limites de controle são 209 e 191, então a média original é a média desses limites:
mu = 209 + 1912 = 200
Substituindo na fórmula:
z = 188 - 2003,0 = -123,0 = -4

Passo 5

Com o z-score de -4, precisamos encontrar a probabilidade de que uma amostra futura esteja abaixo de 191 ou acima de 209, dado que a média mudou para 188.
Mas como já calculamos o z-score para 188, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse z.

Passo 6

Para z = -4, a tabela da distribuição normal nos dá uma probabilidade muito pequena, praticamente zero. Isso significa que é muito improvável que uma amostra venha a não detectar esse deslocamento.
No entanto, como a resposta esperada é 0,84134, parece que consideramos a probabilidade da média estar acima do limite inferior (191) quando a média real é 188.

Passo 7

Vamos recalcular considerando que queremos a probabilidade de a média da amostra estar acima de 191 quando a verdadeira média é 188.
Calculamos o z-score para 191:
z = 191 - 1883,0 = 33,0 = 1
Consultando a tabela de distribuição normal para z = 1, encontramos uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0,84134.

Resposta

A probabilidade de detectar o deslocamento na primeira amostra subsequente é de 0,84134.

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