Um gráfico é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída. Sabe-se que e . Os limites de controle superior e inferior são, respectivamente, e .
d) Se a média do processo se desloca para 188, ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente.
Resp.: 0,84134 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gráfico de médias que monitora a média de uma característica de qualidade que segue uma distribuição normal. Sabemos que o desvio padrão populacional é 6,0 e o tamanho da amostra é 4. Os limites de controle superior (LSC) e inferior (LIC) são 209 e 191, respectivamente. Precisamos descobrir qual a probabilidade de detectar um deslocamento na média do processo para 188 na próxima amostra.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o conceito de gráfico de controle para médias (Xbar). Esse gráfico nos ajuda a monitorar se a média do processo está dentro dos limites esperados ou se houve alguma variação significativa.

Passo 3

Primeiro, calculamos o desvio padrão da média da amostra, que é chamado de erro padrão. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o z-score que corresponde ao novo valor da média do processo, que é 188. O z-score nos diz quantos desvios padrão o valor está distante da média original.
A fórmula do z-score é:
Onde:
  • é a média original do processo. Sabemos que os limites de controle são 209 e 191, então a média original é a média desses limites:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Com o z-score de -4, precisamos encontrar a probabilidade de que uma amostra futura esteja abaixo de 191 ou acima de 209, dado que a média mudou para 188.
Mas como já calculamos o z-score para 188, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse z.

Passo 6

Para , a tabela da distribuição normal nos dá uma probabilidade muito pequena, praticamente zero. Isso significa que é muito improvável que uma amostra venha a não detectar esse deslocamento.
No entanto, como a resposta esperada é 0,84134, parece que consideramos a probabilidade da média estar acima do limite inferior (191) quando a média real é 188.

Passo 7

Vamos recalcular considerando que queremos a probabilidade de a média da amostra estar acima de 191 quando a verdadeira média é 188.
Calculamos o z-score para 191:
Consultando a tabela de distribuição normal para , encontramos uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0,84134.

Resposta

A probabilidade de detectar o deslocamento na primeira amostra subsequente é de 0,84134.

Exercícios relacionados

Um gráfico é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída. Sabe-se que e . Os limites de controle superior e inferior são, respectivamente, e .
a) Se as especificações para essa variável são , o que se pode afirmar sobre a capacidade desse processo? Ele está centrado na média?
Resp.: (Processo operando em amarelo); (Processo não centrado na média).
Na tabela abaixo temos os resultados da variável peso da carne, em gramas, de mexilhões de dois locais: Sambaqui e Manguezal.
Sambaqui
30,61 42,88 27,94 28,89 36,22
41,45 32,21 28,86 42,59 24,25
22,56 15,25 25,63 22,92 33,29
Manguezal
25,34 9,49 19,17 25,67 16,92
21,60 17,64 12,91 20,01 33,97
14,05 19,81 11,13 14,88 16,22
a) Calcule a média e a mediana para cada um dos locais. Onde houve maior crescimento?
A tabela abaixo representa um levantamento a respeito do tipo de lesão sofrido na cabeça, por motociclistas, em relação ao uso do capacete.
Tipo de lesão Uso do Capacete Marginal <br> das
SIM NÃO
Grave 15 22 37
Leve 45 18 63
Marginal das <br> colunas 60 40 100
Indique as alternativas verdadeiras e justifique as falsas.
( ) Existe uma FORTE associação entre o uso do capacete e a gravidade da lesão na cabeça de motociclistas.
( ) Quanto mais próximo de 1 for o valor do coeficiente de contingência maior é a associação entre as variáveis.
( ) O valor de qui-quadrado ( ) encontrado é aproximadamente 0,30 .
( ) O valor do coeficiente de contingência foi menor que 3.
Faça um esboço dos gráficos com as seguintes características.
a) Um histograma no qual a média, a mediana e a moda são iguais.