O gráfico da função é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
(e) os intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

Beleza, vamos ajudar a resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos mostra onde ela está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando: . Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, e dentro dela temos uma expressão quadrática.

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos saber o domínio da função, ou seja, para quais valores de a expressão dentro da raiz é não negativa, porque não podemos tirar raiz quadrada de número negativo.
Então, vamos resolver a inequação:

Passo 4

Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, reescrevemos para facilitar:
Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:

Passo 5

Agora, sabemos que a expressão é menor ou igual a zero entre as raízes e . Portanto, o domínio da função é:

Passo 6

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos calcular a derivada de e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Primeiro, calculamos :
Usando a regra da cadeia:
Agora, analisamos o sinal de no domínio :
  • Quando , é positivo, então → função crescente.
  • Quando , é negativo, então → função decrescente.
  • Em , → ponto de máximo.

Resposta

A função é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

Exercícios relacionados

O gráfico da função é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
(a) os valores de e ;
Expresse as funções abaixo como , de modo que e não sejam a função identidade.
©
O gráfico de e a reta são mostrados na figura a seguir. A partir do gráfico, indique as soluções .
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa em caso afirmativo escreva a definição.
(q) ééí.