O gráfico da função
é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
(e) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os intervalos de crescimento e decrescimento;
Passo 1
Beleza, vamos ajudar a resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos mostra onde ela está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
. Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, e dentro dela temos uma expressão quadrática.
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos saber o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a expressão dentro da raiz é não negativa, porque não podemos tirar raiz quadrada de número negativo.
Então, vamos resolver a inequação:
Passo 4
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, reescrevemos para facilitar:
Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Passo 5
Agora, sabemos que a expressão
é menor ou igual a zero entre as raízes
e
. Portanto, o domínio da função
é:
Passo 6
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos calcular a derivada de
e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra da cadeia:
Agora, analisamos o sinal de
no domínio
:
- Quando
, é positivo, então → função crescente. - Quando
, é negativo, então → função decrescente. - Em
, → ponto de máximo.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
O gráfico da função
é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
(a) os valores de e
;
(a) os valores de
Expresse as funções
abaixo como
, de modo que
e
não sejam a função identidade.
©
©
O gráfico de
e a reta
são mostrados na figura a seguir. A partir do gráfico, indique as soluções
.
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(q) .
(q)