Para o gráfico da função quadrática f(x) = 3x² + 5x - 7 é correto afirmar apenas que:
a) a parábola, que representa o gráfico, possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto mínimo.
b) a parábola, que representa o gráfico, possui concavidade para baixo e um vértice que é o ponto mínimo.
c) a parábola, que representa o gráfico, intercepta o eixo Oy no ponto (-7, 0).
d) a parábola que representa o gráfico possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto máximo.
e) a parábola que representa o gráfico intercepta o eixo Oy no ponto (0, 7).
a) a parábola, que representa o gráfico, possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto mínimo.
b) a parábola, que representa o gráfico, possui concavidade para baixo e um vértice que é o ponto mínimo.
c) a parábola, que representa o gráfico, intercepta o eixo Oy no ponto (-7, 0).
d) a parábola que representa o gráfico possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto máximo.
e) a parábola que representa o gráfico intercepta o eixo Oy no ponto (0, 7).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções quadráticas! A gente vai analisar o gráfico da função $ f(x) = 3x² + 5x - 7 $. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de matemática, como concavidade da parábola, vértice e interceptos com os eixos. Vamos passo a passo para descobrir qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre concavidade da parábola. A concavidade depende do coeficiente de $ x² $ na função quadrática. Se o coeficiente for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo. No nosso caso, o coeficiente de $ x² $ é 3, que é positivo. Então, sabemos que a parábola tem concavidade para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, dependendo da concavidade. Como já vimos que a concavidade é para cima, o vértice será o ponto mínimo da função.
Para encontrar as coordenadas do vértice, usamos as fórmulas:
Onde $ a = 3 $ e $ b = 5 $.
Calculando $ x_v $:
Agora, calculando $ y_v $:
Então, o vértice é aproximadamente $ \left(-\frac{5}{6}, -\frac{103}{12}\right) $, que é um ponto mínimo.
Passo 4
Vamos verificar agora os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo Oy: é o valor de $ f(x) $ quando $ x = 0 $.
Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto $ (0, -7) $.
- Intercepto com o eixo Ox: são os valores de $ x $ quando $ f(x) = 0 $. Isso envolve resolver a equação quadrática $ 3x² + 5x - 7 = 0 $. Mas, para essa questão, não precisamos calcular isso.
Passo 5
Vamos comparar nossas descobertas com as alternativas:
a) A parábola possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto mínimo.
- Correto! Isso é exatamente o que encontramos.
b) A parábola possui concavidade para baixo e um vértice que é o ponto mínimo.
- Errado, a concavidade é para cima.
c) A parábola intercepta o eixo Oy no ponto (-7, 0).
- Errado, o intercepto é $ (0, -7) $.
d) A parábola possui concavidade para cima e um vértice que é o ponto máximo.
- Errado, o vértice é mínimo.
e) A parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 7).
- Errado, o intercepto é $ (0, -7) $.
Resposta
A alternativa a) está correta.