Os gráficos de duas soluções de
podem se cruzar num ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se os gráficos de duas soluções diferentes da equação diferencial
podem se cruzar em um ponto específico
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de unicidade das soluções para equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar entender sobre a existência e unicidade de soluções e a condição de Lipschitz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução de uma equação diferencial. Uma solução é uma função
que satisfaz a equação em todos os pontos do intervalo considerado. No nosso caso, a equação é
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o teorema de unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função que define a equação diferencial (neste caso,
) for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a
no ponto
, então existe uma única solução passando por esse ponto.
Passo 4
Vamos verificar as condições para aplicar o teorema de unicidade. A função
é contínua em todos os pontos
porque é a soma de funções contínuas. Além disso, a derivada parcial de
em relação a
é
, que também é contínua. Isso satisfaz a condição de Lipschitz localmente.
Passo 5
Com as condições atendidas, podemos aplicar o teorema de unicidade. Isso significa que, dado um ponto inicial
, existe uma única solução que passa por esse ponto. Portanto, não pode haver duas soluções diferentes que se cruzem nesse mesmo ponto, pois isso violaria a unicidade da solução.
Resposta
Não, os gráficos de duas soluções de
não podem se cruzar no mesmo ponto
, pois isso violaria o teorema de unicidade das soluções para equações diferenciais ordinárias.
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