Os gráficos de duas soluções de podem se cruzar num ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se os gráficos de duas soluções diferentes da equação diferencial podem se cruzar em um ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o conceito de unicidade das soluções para equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar entender sobre a existência e unicidade de soluções e a condição de Lipschitz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução de uma equação diferencial. Uma solução é uma função que satisfaz a equação em todos os pontos do intervalo considerado. No nosso caso, a equação é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o teorema de unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função que define a equação diferencial (neste caso, ) for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a no ponto , então existe uma única solução passando por esse ponto.

Passo 4

Vamos verificar as condições para aplicar o teorema de unicidade. A função é contínua em todos os pontos porque é a soma de funções contínuas. Além disso, a derivada parcial de em relação a é , que também é contínua. Isso satisfaz a condição de Lipschitz localmente.

Passo 5

Com as condições atendidas, podemos aplicar o teorema de unicidade. Isso significa que, dado um ponto inicial , existe uma única solução que passa por esse ponto. Portanto, não pode haver duas soluções diferentes que se cruzem nesse mesmo ponto, pois isso violaria a unicidade da solução.

Resposta

Não, os gráficos de duas soluções de não podem se cruzar no mesmo ponto , pois isso violaria o teorema de unicidade das soluções para equações diferenciais ordinárias.

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