Os gráficos de e são dados. Diga qual é o domínio e a imagem de podemos afirmar que é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o domínio e a imagem da função usando os gráficos de e , e também para verificar se é sobrejetora. Primeiro, vamos entender o que cada termo significa e o que precisamos observar nos gráficos.

Passo 2

Domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Basicamente, é o intervalo de valores que você pode colocar na função sem nenhum problema.
Imagem (ou alcance) é o conjunto de todos os valores de que a função pode produzir. É o intervalo de possíveis saídas da função.
Para determinar o domínio e a imagem olhando o gráfico de , precisamos observar até onde a função se estende horizontalmente (para o domínio) e verticalmente (para a imagem).

Passo 3

Vamos supor que, olhando o gráfico de , a função está definida para todos os números reais de , ou seja, ela continua indefinidamente para a esquerda e para a direita sem nenhuma interrupção. Nesse caso, o domínio de seria:
í
Isso significa que você pode inserir qualquer número real na função e obter um resultado válido.

Passo 4

Agora, observando a imagem de pelo gráfico, vamos supor que os valores de que atinge estão entre e . Então, a imagem de seria:
Isso indica que os valores de saída da função estão limitados nesse intervalo específico.

Passo 5

Para verificar se é sobrejetora (ou seja, qual é a definição de uma função sobrejetora), precisamos garantir que todos os possíveis valores de no conjunto de chegada (geralmente ) são alcançados pela função .
Em outras palavras, para cada no conjunto de chegada, existe pelo menos um no domínio tal que .

Passo 6

Assim, se a imagem de for igual ao conjunto de chegada, então é sobrejetora. No nosso exemplo, se o conjunto de chegada for e a imagem de também for , então é sobrejetora.
Porém, se o conjunto de chegada for e a imagem de for apenas , não seria sobrejetora, já que não alcança valores fora desse intervalo.

Resposta

Portanto, o domínio de é , a imagem de é , e é sobrejetora se e somente se a imagem de cobre todo o conjunto de chegada definido. Se o conjunto de chegada for , então é sobrejetora.

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A figura dada mostra o gráfico completo de . Determine:
Os gráficos de e são dados. Para quais valores de é ?
Determine as fórmulas para . $f(x)=\sqrt{x-3}, g(x)=\sqrt{x^{2}