Os gráficos de
e
são dados. Diga qual é o domínio e a imagem de
podemos afirmar que
é sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o domínio e a imagem da função
usando os gráficos de
e
, e também para verificar se
é sobrejetora. Primeiro, vamos entender o que cada termo significa e o que precisamos observar nos gráficos.
Passo 2
Domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função
está definida. Basicamente, é o intervalo de valores que você pode colocar na função sem nenhum problema.
Imagem (ou alcance) é o conjunto de todos os valores de
que a função
pode produzir. É o intervalo de possíveis saídas da função.
Para determinar o domínio e a imagem olhando o gráfico de
, precisamos observar até onde a função se estende horizontalmente (para o domínio) e verticalmente (para a imagem).
Passo 3
Vamos supor que, olhando o gráfico de
, a função está definida para todos os números reais de
, ou seja, ela continua indefinidamente para a esquerda e para a direita sem nenhuma interrupção. Nesse caso, o domínio de
seria:
Isso significa que você pode inserir qualquer número real na função
e obter um resultado válido.
Passo 4
Agora, observando a imagem de
pelo gráfico, vamos supor que os valores de
que
atinge estão entre
e
. Então, a imagem de
seria:
Isso indica que os valores de saída da função
estão limitados nesse intervalo específico.
Passo 5
Para verificar se
é sobrejetora (ou seja, qual é a definição de uma função sobrejetora), precisamos garantir que todos os possíveis valores de
no conjunto de chegada (geralmente
) são alcançados pela função
.
Em outras palavras, para cada
no conjunto de chegada, existe pelo menos um
no domínio tal que
.
Passo 6
Assim, se a imagem de
for igual ao conjunto de chegada, então
é sobrejetora. No nosso exemplo, se o conjunto de chegada for
e a imagem de
também for
, então
é sobrejetora.
Porém, se o conjunto de chegada for
e a imagem de
for apenas
,
não seria sobrejetora, já que não alcança valores fora desse intervalo.
Resposta
Portanto, o domínio de
é
, a imagem de
é
, e
é sobrejetora se e somente se a imagem de
cobre todo o conjunto de chegada definido. Se o conjunto de chegada for
, então
é sobrejetora.
Exercícios relacionados
O gráfico de uma função
é dado: Diga qual é domínio e a imagem de
podemos afirmar que
é sobrejetora?
A figura dada mostra o gráfico completo de
. Determine:
Os gráficos de
e
são dados. Para quais valores de
é
?
Determine as fórmulas para
. $f(x)=\sqrt{x-3}, g(x)=\sqrt{x^{2}