Os gráficos dos membros da família de parâmetro único são chamados de folium de Descartes. Verifique que esta família é uma solução implícita da ED de ordem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a família de curvas chamada folium de Descartes, definida pela equação , é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada por:
Vamos usar cálculo para fazer essa verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução implícita. Basicamente, uma equação implícita relaciona e sem isolar . Para verificar se a folium de Descartes é solução da equação diferencial, precisamos derivar a equação em relação a e ver se a derivada resultante corresponde à equação diferencial dada.

Passo 3

Vamos começar a derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , usamos a regra da cadeia, ou seja, .

Passo 4

Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 6

Reorganizando os termos para isolar :
Fatorando :
Então:

Passo 7

Agora, vamos comparar essa expressão com a equação diferencial fornecida:
Para que a folium de Descartes seja uma solução, as duas expressões para devem ser equivalentes.

Passo 8

Notamos que nossa expressão derivada depende de . Para igualar às duas expressões, precisamos expressar em termos de e a partir da equação original :

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Observando agora a equação diferencial dada:
Podemos ver que ambas as expressões são equivalentes após simplificações apropriadas, confirmando que a folium de Descartes é uma solução implícita dessa equação diferencial.

Resposta

Sim, a família de curvas é uma solução implícita da equação diferencial dada.

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