Os gráficos dos membros da família de parâmetro único
são chamados de folium de Descartes. Verifique que esta família é uma solução implícita da ED de
ordem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a família de curvas chamada folium de Descartes, definida pela equação
, é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada por:
Vamos usar cálculo para fazer essa verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução implícita. Basicamente, uma equação implícita relaciona
e
sem isolar
. Para verificar se a folium de Descartes é solução da equação diferencial, precisamos derivar a equação
em relação a
e ver se a derivada resultante corresponde à equação diferencial dada.
Passo 3
Vamos começar a derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que quando derivamos
em relação a
, usamos a regra da cadeia, ou seja,
.
Passo 4
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 6
Reorganizando os termos para isolar
:
Fatorando
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos comparar essa expressão com a equação diferencial fornecida:
Para que a folium de Descartes seja uma solução, as duas expressões para
devem ser equivalentes.
Passo 8
Notamos que nossa expressão derivada depende de
. Para igualar às duas expressões, precisamos expressar
em termos de
e
a partir da equação original
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Observando agora a equação diferencial dada:
Podemos ver que ambas as expressões são equivalentes após simplificações apropriadas, confirmando que a folium de Descartes é uma solução implícita dessa equação diferencial.
Resposta
Sim, a família de curvas
é uma solução implícita da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função
seja uma solução da ED dada
b)
b)
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função
seja uma solução da ED dada
d)
d)
Nos Exercícios 73-76, use o Método de Euler para fazer uma tabela de valores para a solução aproximada da equação diferencial com o valor inicial especificado. Use
passos de tamanho
.
76.
76.
Nos Exercícios 73-76, use o Método de Euler para fazer uma tabela de valores para a solução aproximada da equação diferencial com o valor inicial especificado. Use
passos de tamanho
.
75.
75.