Uma grande azeitona (m = 0,50 kg) está na origem de um sistema de coordenadas xy e uma grande castanha-do-pará (M = 1,5 kg) está no ponto (1,0 , 2,0) m. Em t = 0 uma força F0 = (2,0 i + 3,0 j) N começa a agir sobre a azeitona e uma força Fn = (-3,0 i -2,0 j) N começa a agir sobre a castanha. Em termos dos vetores unitários, qual é o deslocamento do centro de massa do sistema azeitona-castanha em t = 4,0 s em relação à sua posição em t = 0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas frutas com massas diferentes: uma azeitona e uma castanha-do-pará. A azeitona está na origem das coordenadas (0,0) e tem uma massa de 0,50 kg. A castanha está no ponto (1,0 m, 2,0 m) e tem uma massa de 1,5 kg. Quando o tempo $ t = 0 t = 0 çç \vec{F}_0 = 2,0,\hat{i} + 3,0,\hat{j} $ N) e outra na castanha ($ \vec{F}_n = -3,0,\hat{i} - 2,0,\hat{j} $ N). Nosso objetivo é descobrir qual foi o deslocamento do centro de massa desse sistema após 4 segundos em relação à posição inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica relacionados ao centro de massa, força resultante e movimento. Vamos seguir passo a passo para entender tudo certinho!

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. A fórmula para encontrar a posição do centro de massa $ \vec{R} $ é:
R
onde:
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das partículas,
  • $ \vec{r}_1 $ e $ \vec{r}_2 $ são as posições das partículas.
Entender o centro de massa é essencial porque nos permite tratar o sistema como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto único para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição inicial do centro de massa no $ t = 0 $. Sabemos que a azeitona está na origem $ (0,0) $ e a castanha está em $ (1,0,m, 2,0,m) $.
Usando a fórmula do centro de massa:
t = 0
Substituindo os valores:
(0,0)
Então, inicialmente, o centro de massa está em $ (0,75,\hat{i} + 1,5,\hat{j}),m $.

Passo 4

Mas queremos saber o deslocamento do centro de massa após 4 segundos. Para isso, precisamos entender como as forças aplicadas afetarão o movimento do centro de massa.
Primeiro, vamos lembrar que a força total no sistema determina a aceleração do centro de massa. A fórmula que relaciona força, massa e aceleração é a Segunda Lei de Newton:
Ftotal = (m1 + m2) acm
onde $ \vec{a}_{cm} $ é a aceleração do centro de massa.

Passo 5

Vamos calcular a força total no sistema somando as forças aplicadas na azeitona e na castanha:
Ftotal = F0 + Fn = (2,0,i + 3,0,j) + (-3,0,i - 2,0,j) = (-1,0,i + 1,0,j),N
Então, a força total que atua sobre o sistema é $ -1,0,\hat{i} + 1,0,\hat{j} $ N.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração do centro de massa usando a Segunda Lei de Newton:
acm = Ftotalm1 + m2 = (-1,0,i + 1,0,j)0,50 + 1,5 = (-1,0,i + 1,0,j)2,0 = (-0,5,i + 0,5,j),m/s^2
Então, a aceleração do centro de massa é $ -0,5,\hat{i} + 0,5,\hat{j} $ m/s².

Passo 7

Com a aceleração conhecida, podemos encontrar o deslocamento do centro de massa após 4 segundos. Vamos usar a fórmula do movimento com aceleração constante:
s = v0 t + 12 a t^2
Como o sistema estava inicialmente em repouso, a velocidade inicial $ \vec{v}_0 = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
v0 = 0
Substituindo os valores:
s = 12 acm t^2
Então, o deslocamento do centro de massa após 4 segundos é $ -4,0,\hat{i} + 4,0,\hat{j} $ metros.

Resposta

O deslocamento do centro de massa após 4 segundos é $ \vec{s} = -4,0,\hat{i} + 4,0,\hat{j} $ metros.

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