Em um grupo de 10 pessoas, 4 são homens e 6 são mulheres. Se 3 pessoas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja homem, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos um grupo de 10 pessoas, sendo 4 homens e 6 mulheres. Queremos escolher 3 pessoas aleatoriamente e descobrir qual é a probabilidade de que pelo menos uma dessas três seja um homem, sabendo que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher.
Matéria envolvida: Probabilidade condicional e combinações.
O que precisamos para resolver: Entender como calcular probabilidades condicionais e utilizar combinações para contar as diferentes maneiras de escolher as pessoas.

Passo 2

Como já sabemos que a primeira pessoa escolhida foi uma mulher, vamos atualizar nosso grupo. Originalmente, temos 10 pessoas: 4 homens e 6 mulheres. Após escolher uma mulher, restam:
  • Total de pessoas restantes: 9 (4 homens e 5 mulheres).
Agora, precisamos escolher mais 2 pessoas dentre essas 9 restantes. Queremos saber a probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas escolhidas seja um homem.
Estratégia: Calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma das duas pessoas escolhidas seja um homem (ou seja, que as duas sejam mulheres) e então subtrair esse valor de 1.

Passo 3

Vamos calcular as combinações possíveis:
  1. Total de maneiras de escolher 2 pessoas dentre as 9 restantes:
C(9,2) = 9!2! times (9-2)! = 9 times 82 times 1 = 36
  1. Maneiras de escolher 2 mulheres dentre as 5 restantes:
C(5,2) = 5!2! times (5-2)! = 5 times 42 times 1 = 10
  1. Probabilidade de escolher 2 mulheres:
P(2 mulheres) = 1036 = 518
  1. Probabilidade de pelo menos 1 homem nas duas escolhas:
P(pelo menos 1 homem) = 1 - P(2 mulheres) = 1 - 518 = 1318

Resposta

A probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas escolhidas após a primeira mulher seja um homem é:
1318 approx 0,7222 ou 72,22%

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