Um grupo de 10 viajantes para para dormir num hotel. Só havia 2 quartos com 5 lugares cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite? Resp: 252

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde 10 viajantes precisam se dividir em 2 quartos, cada um comportando 5 pessoas. Vamos usar combinatória, especificamente combinações, para resolver isso. Precisaremos da fórmula de combinação para calcular de quantas maneiras podemos escolher 5 pessoas dentre 10 para um dos quartos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação. Combinação é uma seleção de itens onde a ordem não importa. No nosso caso, queremos selecionar 5 pessoas dentre 10, sem nos importar com a ordem em que elas são escolhidas.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, p) = n!p! times (n - p)!
Onde:
  • é o total de itens,
  • é o número de itens a serem escolhidos,
  • representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema:
C(10, 5) = 10!5! times (10 - 5)! = 10!5! times 5!

Passo 5

Vamos calcular os fatoriais:
10! = 10 times 9 times 8 times 7 times 6 times 5! = 30240 times 5!
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula:
C(10, 5) = 30240 times 120120 times 120 = 30240120 = 252

Resposta

Existem 252 maneiras diferentes de distribuir os 10 viajantes nos 2 quartos com 5 lugares cada.

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