De uma população normal X com variância 121, retiramos uma amostra de 25 observações, obtendo barx=45. Ao nível de 2 %, fazer um IC para a verdadeira média da população X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! Temos uma população que segue uma distribuição normal com variância igual a 121. Tiramos uma amostra de 25 observações e a média da amostra foi 45. A gente quer construir um intervalo de confiança para a verdadeira média da população com um nível de confiança de 98% (já que o nível de significância é de 2%).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para construir um intervalo de confiança quando a variância é conhecida, usamos a distribuição normal. A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm zalpha2 times sigmaraizn
Aqui:
  • é a média da amostra (45),
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • é o desvio padrão da população,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • A variância da população é 121, então o desvio padrão é .
  • O tamanho da amostra é 25.
  • A média da amostra é 45.
  • O nível de confiança é de 98%, então e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z0,99 approx 2,326 que corresponde a um nível de confiança de 98%. Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos:

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média, que é 11raiz25 = 115 = 2,2 :

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão para encontrar a margem de erro:
2,326 times 2,2 approx 5,127

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
45 - 5,127 = 39,873
45 + 5,127 = 50,127

Resposta

O intervalo de confiança para a verdadeira média da população é aproximadamente .

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