Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias (caminhos) existem da origem ao ponto P(7,5) ? Resp: 792

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um homem na origem de um sistema de coordenadas e ele quer chegar até o ponto  P(7,5). O conteúdo que vamos usar aqui é combinatória, especificamente sobre permutação e combinação. Precisaremos calcular de quantas maneiras ele pode organizar os passos para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o movimento dele. Para ir da origem até  P(7,5), ele precisa dar 7 passos para leste (L) e 5 passos para norte (N). No total, ele vai dar 12 passos (7 + 5).

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas formas diferentes ele pode distribuir esses passos de L e N ao longo dos 12 movimentos. Isso é um problema clássico de combinação, onde a ordem dos passos importa.

Passo 4

A fórmula da combinação que vamos usar é:
C(n, k) = n!k! cdot (n - k)!
Aqui,  n é o número total de passos e  k é o número de passos em uma direção específica (pode ser L ou N).

Passo 5

Aplicando os números do nosso problema:
  • Total de passos (n): 12
  • Passos para L (k): 7
  • Passos para N: 5
Então:
C(12, 7) = 12!7! cdot 5! = 4790016005040 cdot 120 = 792

Resposta

Existem 792 trajetórias possíveis da origem até o ponto  P(7,5).

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