Um grupo de 24 alunos ( 12 homens e 12 mulheres) deve ser dividido em 6 grupos,com dois homens e duas mulheres em cada grupo. Quantas possibilidades de divisão existem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dividir um grupo de 24 alunos, sendo 12 homens e 12 mulheres, em 6 grupos. Cada grupo vai ter 2 homens e 2 mulheres. A gente vai usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as maneiras de combinar ou organizar elementos. Para resolver, vamos calcular quantas maneiras diferentes podemos formar esses grupos seguindo as regras.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas maneiras temos de selecionar 2 homens dos 12 disponíveis para formar o primeiro grupo. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Então, para os homens:
C(12, 2) = 12!2! cdot 10! = 66

Passo 3

Agora, vamos selecionar 2 mulheres dos 12 disponíveis para o primeiro grupo. Usando a mesma fórmula:
C(12, 2) = 12!2! cdot 10! = 66
Então, para o primeiro grupo, temos maneiras de escolher 2 homens e 2 mulheres.

Passo 4

Depois de formar o primeiro grupo, restam 10 homens e 10 mulheres. Para o segundo grupo, fazemos o mesmo cálculo:
C(10, 2) = 10!2! cdot 8! = 45 (homens)
C(10, 2) = 10!2! cdot 8! = 45 (mulheres)
Então, para o segundo grupo, temos maneiras.

Passo 5

Continuando esse processo para os grupos seguintes:
  • 3º grupo:
    C(8, 2) = 28 (homens)
    C(8, 2) = 28 (mulheres)
    Total: C(6, 2) = 15 (homens) maneiras.
  • 4º grupo:
    C(6, 2) = 15 (mulheres)
    C(4, 2) = 6 (homens)
    Total: C(4, 2) = 6 (mulheres) maneiras.
  • 5º grupo:
    C(2, 2) = 1 (homens)
    C(2, 2) = 1 (mulheres)
    Total: maneiras.
  • 6º grupo:
    Total: maneira.

Passo 6

Agora, multiplicamos todas as maneiras dos grupos:
66 times 66 times 45 times 45 times 28 times 28 times 15 times 15 times 6 times 6 times 1 times 1
Mas, como a ordem dos grupos não importa (ou seja, trocar o grupo 1 pelo grupo 2 não cria uma divisão nova), precisamos dividir pelo número de arranjos dos 6 grupos, que é 66 times 66 times 45 times 45 times 28 times 28 times 15 times 15 times 6 times 6 times 1 times 16! :

Passo 7

Calculando tudo isso:
66^2 times 45^2 times 28^2 times 15^2 times 6^2720
Simplificando os cálculos, chegamos ao número total de possibilidades.

Resposta

Existem maneiras diferentes de dividir os 24 alunos em 6 grupos com 2 homens e 2 mulheres em cada grupo.

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