Um grupo de 24 alunos ( 12 homens e 12 mulheres) deve ser dividido em 6 grupos,com dois homens e duas mulheres em cada grupo. Quantas possibilidades de divisão existem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dividir um grupo de 24 alunos, sendo 12 homens e 12 mulheres, em 6 grupos. Cada grupo vai ter 2 homens e 2 mulheres. A gente vai usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as maneiras de combinar ou organizar elementos. Para resolver, vamos calcular quantas maneiras diferentes podemos formar esses grupos seguindo as regras.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas maneiras temos de selecionar 2 homens dos 12 disponíveis para formar o primeiro grupo. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
Então, para os homens:

Passo 3

Agora, vamos selecionar 2 mulheres dos 12 disponíveis para o primeiro grupo. Usando a mesma fórmula:
Então, para o primeiro grupo, temos maneiras de escolher 2 homens e 2 mulheres.

Passo 4

Depois de formar o primeiro grupo, restam 10 homens e 10 mulheres. Para o segundo grupo, fazemos o mesmo cálculo:
Então, para o segundo grupo, temos maneiras.

Passo 5

Continuando esse processo para os grupos seguintes:
  • 3º grupo:
    Total: maneiras.
  • 4º grupo:
    Total: maneiras.
  • 5º grupo:
    Total: maneiras.
  • 6º grupo:
    Total: maneira.

Passo 6

Agora, multiplicamos todas as maneiras dos grupos:
Mas, como a ordem dos grupos não importa (ou seja, trocar o grupo 1 pelo grupo 2 não cria uma divisão nova), precisamos dividir pelo número de arranjos dos 6 grupos, que é :

Passo 7

Calculando tudo isso:
Simplificando os cálculos, chegamos ao número total de possibilidades.

Resposta

Existem maneiras diferentes de dividir os 24 alunos em 6 grupos com 2 homens e 2 mulheres em cada grupo.

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