De quantas maneiras cinco casais podem ser dispostos ao redor de uma mesa circular de modo que cada homem permaneça ao lado da sua mulher? E se houver a restrição de que pessoas do mesmo sexo não possam ficar juntas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de contagem de arranjos ao redor de uma mesa circular, que faz parte da combinatória. Precisamos descobrir de quantas maneiras cinco casais podem se sentar à mesa de duas formas:
  1. Cada homem ao lado da sua mulher.
  2. Além disso, nenhuma pessoa do mesmo sexo pode ficar sentada junto.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de permutação circular e como tratar pares como unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar cada casal como uma única unidade, já que queremos que cada homem fique ao lado da sua mulher. Assim, temos 5 unidades para arranjar ao redor da mesa.
Em permutação circular, o número de maneiras de arranjar objetos é . Então, para 5 unidades:

Passo 3

Dentro de cada casal, o homem e a mulher podem trocar de lugar. Como são 2 pessoas por casal, cada casal tem possibilidades.
Como são 5 casais:

Passo 4

Agora, multiplicamos as duas quantidades para obter o total de arranjos onde cada homem está ao lado da sua mulher:

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda parte do problema: nenhuma pessoa do mesmo sexo pode ficar sentada junto. Isso significa que devemos alternar homens e mulheres ao redor da mesa.
Primeiro, fixamos a posição de um casal para eliminar rotações equivalentes. Isso deixa:

Passo 6

Dentro de cada casal fixo, como antes, temos 2 possibilidades para a posição do homem e da mulher:

Passo 7

Multiplicando as duas quantidades para obter o total de arranjos com a restrição adicional:

Resposta

  1. Sem a restrição de gênero: Existem 768 maneiras de dispor os cinco casais ao redor da mesa com cada homem ao lado da sua mulher.
  2. Com a restrição de que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas: Também existem 768 maneiras de dispor os cinco casais atendendo a essa condição.

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Resp.: Gráfico ; Gráfico ; .
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c) Dado que os gráficos indicam que o processo está sob controle e sabendo que as especificações para a variável em estudo são , estime os índices e , interpretando os resultados.
Resp.: (Processo operando em vermelho); (Processo não centrado na média).