De quantas maneiras cinco casais podem ser dispostos ao redor de uma mesa circular de modo que cada homem permaneça ao lado da sua mulher? E se houver a restrição de que pessoas do mesmo sexo não possam ficar juntas?
Passo 1
Vamos resolver um problema de contagem de arranjos ao redor de uma mesa circular, que faz parte da combinatória. Precisamos descobrir de quantas maneiras cinco casais podem se sentar à mesa de duas formas:
- Cada homem ao lado da sua mulher.
- Além disso, nenhuma pessoa do mesmo sexo pode ficar sentada junto.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de permutação circular e como tratar pares como unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar cada casal como uma única unidade, já que queremos que cada homem fique ao lado da sua mulher. Assim, temos 5 unidades para arranjar ao redor da mesa.
Em permutação circular, o número de maneiras de arranjar
objetos é
. Então, para 5 unidades:
Passo 3
Dentro de cada casal, o homem e a mulher podem trocar de lugar. Como são 2 pessoas por casal, cada casal tem
possibilidades.
Como são 5 casais:
Passo 4
Agora, multiplicamos as duas quantidades para obter o total de arranjos onde cada homem está ao lado da sua mulher:
Passo 5
Agora, vamos considerar a segunda parte do problema: nenhuma pessoa do mesmo sexo pode ficar sentada junto. Isso significa que devemos alternar homens e mulheres ao redor da mesa.
Primeiro, fixamos a posição de um casal para eliminar rotações equivalentes. Isso deixa:
Passo 6
Dentro de cada casal fixo, como antes, temos 2 possibilidades para a posição do homem e da mulher:
Passo 7
Multiplicando as duas quantidades para obter o total de arranjos com a restrição adicional:
Resposta
-
Sem a restrição de gênero: Existem 768 maneiras de dispor os cinco casais ao redor da mesa com cada homem ao lado da sua mulher.
-
Com a restrição de que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas: Também existem 768 maneiras de dispor os cinco casais atendendo a essa condição.
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Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule os limites de controle
para os gráficos de controle
e
.
Resp.: Gráfico ; Gráfico
;
.
Resp.: Gráfico
De quantas formas 7 pessoas podem ser dispostas numa mesa circular, de modo que duas dessas pessoas fiquem sempre juntas?
c) Dado que os gráficos
indicam que o processo está sob controle e sabendo que as especificações para a variável em estudo são
, estime os índices
e
, interpretando os resultados.
Resp.: (Processo operando em vermelho);
(Processo não centrado na média).
Resp.: