De um grupo de 5 mulheres e 7 homens, quantos comites diferentes compostos por 2 mulheres e 3 homens podem ser formados? E se dois dos homens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo de 5 mulheres e 7 homens, e queremos formar comitês com 2 mulheres e 3 homens. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente combinações, que nos ajudam a contar de quantas formas diferentes podemos escolher grupos sem se importar com a ordem. Primeiro, vamos ver quantos comitês diferentes podemos formar sem nenhuma restrição. Depois, vamos considerar a condição extra onde dois dos homens não querem trabalhar juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem de escolher 2 mulheres entre as 5 disponíveis. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
binom52 = 5!2!(5-2)! = 5 times 42 times 1 = 10
Então, temos 10 maneiras de escolher as 2 mulheres.

Passo 3

Agora, vamos ver quantas maneiras temos de escolher 3 homens entre os 7 disponíveis. Usamos a mesma fórmula de combinação:
binom73 = 7!3!(7-3)! = 7 times 6 times 53 times 2 times 1 = 35
Portanto, há 35 maneiras de escolher os 3 homens.

Passo 4

Para encontrar o número total de comitês possíveis sem restrições, multiplicamos o número de maneiras de escolher as mulheres pelo número de maneiras de escolher os homens:
10 times 35 = 350
Então, sem restrições, podemos formar 350 comitês diferentes.

Passo 5

Agora, vamos considerar a situação onde dois dos homens estão brigados e não querem trabalhar juntos. Vamos chamar esses dois homens de A e B. Queremos descontar os comitês que incluem tanto o A quanto o B.
Primeiro, vamos escolher as 2 mulheres, que já sabemos que tem 10 maneiras.

Passo 6

Depois, precisamos escolher os 3 homens, mas garantindo que não incluímos os dois brigados juntos. Para isso, calculamos quantos comitês teriam tanto o A quanto o B.
Se já escolhemos A e B, precisamos escolher mais 1 homem entre os 5 restantes (já que dos 7 homens, tiramos A e B):
binom51 = 5
Então, há 5 comitês que incluem tanto A quanto B.

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo número de maneiras de escolher as mulheres:
10 times 5 = 50
Então, existem 50 comitês onde A e B estão juntos.

Passo 8

Para encontrar o número total de comitês que respeitam a condição de que A e B não trabalham juntos, subtraímos esses 50 comitês do total inicial de 350:
350 - 50 = 300

Resposta

Sem restrições, podemos formar 350 comitês diferentes. Considerando que dois homens não querem trabalhar juntos, o número de comitês possíveis é 300.

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