Um grupo composto por 8 pessoas, sendo 4 casais, decidiu ir ao cinema no domingo. Sabendo que eles compraram 8 cadeiras sequenciais pertencentes a uma mesma fileira, de quantas maneiras distintas esses indivíduos podem se sentar de forma que duas pessoas de um mesmo casal sempre fiquem lado a lado?
A) 4! ⋅ 2^4
B) 8!
C) 4! ⋅ 2
D) 4! ⋅ 4
E) 8! ⋅ 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 8 pessoas, que formam 4 casais, e elas compraram 8 cadeiras seguidas na mesma fileira do cinema. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se sentar de forma que as duas pessoas de cada casal fiquem sempre juntas? Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e arranjos, considerando as restrições dos casais.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar que cada casal precisa ficar junto. Então, em vez de considerar 8 pessoas separadas, vamos agrupar cada casal como uma “unidade”. Assim, ao invés de 8 unidades, temos 4 unidades (cada uma representando um casal).

Passo 3

Agora, precisamos determinar de quantas maneiras podemos organizar essas 4 unidades (os casais) nas 8 cadeiras. Como são 4 unidades distintas, o número de arranjos possíveis é dado por 4! (4 fatorial), que é 4 times 3 times 2 times 1 = 24 maneiras.

Passo 4

Dentro de cada casal, temos duas pessoas que podem trocar de lugar entre si. Isso significa que para cada casal, há 2 maneiras de organizar as duas pessoas. Como são 4 casais, precisamos multiplicar por 2 para cada um deles, ou seja, 2^4.

Passo 5

Então, combinando as duas partes: o número de maneiras de organizar os 4 casais na fileira ( 4!) multiplicado pelas maneiras de organizar cada casal internamente ( 2^4).

Resposta

A quantidade de maneiras distintas é 4! cdot 2^4. Portanto, a resposta correta é a alternativa A) 4! ⋅ 2⁴.

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