Um grupo composto por 8 pessoas, sendo 4 casais, decidiu ir ao cinema no domingo. Sabendo que eles compraram 8 cadeiras sequenciais pertencentes a uma mesma fileira, de quantas maneiras distintas esses indivíduos podem se sentar de forma que duas pessoas de um mesmo casal sempre fiquem lado a lado?
A) 4! ⋅ 2^4
B) 8!
C) 4! ⋅ 2
D) 4! ⋅ 4
E) 8! ⋅ 2
A) 4! ⋅ 2^4
B) 8!
C) 4! ⋅ 2
D) 4! ⋅ 4
E) 8! ⋅ 2
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 8 pessoas, que formam 4 casais, e elas compraram 8 cadeiras seguidas na mesma fileira do cinema. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se sentar de forma que as duas pessoas de cada casal fiquem sempre juntas? Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e arranjos, considerando as restrições dos casais.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar que cada casal precisa ficar junto. Então, em vez de considerar 8 pessoas separadas, vamos agrupar cada casal como uma “unidade”. Assim, ao invés de 8 unidades, temos 4 unidades (cada uma representando um casal).
Passo 3
Agora, precisamos determinar de quantas maneiras podemos organizar essas 4 unidades (os casais) nas 8 cadeiras. Como são 4 unidades distintas, o número de arranjos possíveis é dado por
(4 fatorial), que é
maneiras.
Passo 4
Dentro de cada casal, temos duas pessoas que podem trocar de lugar entre si. Isso significa que para cada casal, há
maneiras de organizar as duas pessoas. Como são 4 casais, precisamos multiplicar por
para cada um deles, ou seja,
.
Passo 5
Então, combinando as duas partes: o número de maneiras de organizar os 4 casais na fileira (
) multiplicado pelas maneiras de organizar cada casal internamente (
).
Resposta
A quantidade de maneiras distintas é
. Portanto, a resposta correta é a alternativa A) 4! ⋅ 2⁴.