Um grupo é formado por 4 homens e 4 mulheres. Desejamos dispor essas 8 pessoas ao redor de uma mesa circular, de modo que cada homem se sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo de pessoas, entretanto não podem se sentar lado a lado. Qual o número de disposições possíveis para essas 8 pessoas nessas condições?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar usar. Temos um grupo de 4 homens e 4 mulheres que vão se sentar ao redor de uma mesa circular. A condição é que cada homem deve estar entre duas mulheres, e ainda temos que garantir que João e Maria não se sentem lado a lado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação circular e contagem condicional.

Passo 2

Primeiro, como a mesa é circular, a gente pode fixar a posição de uma pessoa para simplificar os cálculos, já que rotações diferentes não contam como arranjos distintos. Vamos fixar a posição de uma mulher, digamos Maria, em um lugar específico na mesa.

Passo 3

Agora, precisamos organizar os homens e as mulheres alternadamente ao redor da mesa. Como cada homem deve estar entre duas mulheres, a disposição será: Mulher, Homem, Mulher, Homem, e assim por diante. Como já fixamos a posição de Maria, as outras 3 mulheres vão ocupar outros 3 lugares reservados para mulheres.

Passo 4

Vamos calcular quantas maneiras temos de organizar as 3 mulheres restantes nos 3 lugares disponíveis. Isso é uma permutação simples de 3 elementos, que é maneiras.

Passo 5

Agora, vamos arranjar os 4 homens nos 4 lugares destinados a eles. Como não temos restrições específicas para os homens além de estarem entre as mulheres, temos maneiras de organizá-los.

Passo 6

Multiplicando as permutações das mulheres e dos homens, temos o total de arranjos possíveis sem considerar a restrição adicional de que João e Maria não podem se sentar juntos:
3! times 4! = 6 times 24 = 144

Passo 7

Agora, vamos retirar os arranjos onde João e Maria estão sentados lado a lado. Como Maria já está em uma posição fixa, João só pode estar em dois lugares específicos (ao lado direito ou esquerdo dela). Então, há 2 possibilidades para a posição de João.

Passo 8

Após fixar João em uma das posições ao lado de Maria, ainda temos 3 homens para organizar nos 3 lugares restantes, o que dá maneiras. Além disso, as 3 mulheres restantes podem ser organizadas de maneiras.

Passo 9

Multiplicando essas possibilidades restritas, temos o número de arranjos onde João e Maria estão juntos:
2 times 3! times 3! = 2 times 6 times 6 = 72

Passo 10

Finalmente, para encontrar o número de arranjos válidos onde João e Maria não estão lado a lado, subtraímos os arranjos indesejados do total inicial:
144 - 72 = 72

Resposta

Existem 72 disposições possíveis para essas 8 pessoas atendendo às condições dadas.

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