Um grupo de 5 homens e 7 mulheres é dividido aleatoriamente em 2 grupos de 6 pespons cada. Qual á a probabilidade de que ambos os grupos possuam o mesmo número de homens (e de mulheres)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um grupo de 5 homens e 7 mulheres, totalizando 12 pessoas. Queremos dividir esse grupo aleatoriamente em 2 grupos de 6 pessoas cada. A pergunta é: qual a chance de ambos os grupos terem o mesmo número de homens e mulheres?
Para resolver isso, vamos usar probabilidade, que é a chance de um evento acontecer. Vamos precisar também entender de combinações, que são maneiras de escolher um certo número de itens de um grupo maior sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de dividir as 12 pessoas em dois grupos de 6. Como a ordem dos grupos não importa, podemos usar a combinação:
Aqui,
é o número de maneiras de escolher 6 pessoas entre 12, e dividimos por 2 porque não importa qual é o primeiro ou o segundo grupo.
Calculando:
Então, existem 462 maneiras diferentes de dividir as 12 pessoas em dois grupos de 6.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas maneiras favoráveis, ou seja, aquelas em que ambos os grupos têm o mesmo número de homens e mulheres.
Temos 5 homens e 7 mulheres. Para que os grupos tenham o mesmo número de homens e mulheres, cada grupo deveria ter:
Mas, olha só, não podemos ter meio homem ou meia mulher! Isso significa que não é possível dividir 5 homens e 7 mulheres em dois grupos de 6 pessoas cada com o mesmo número de homens e mulheres.
Portanto, não há nenhuma maneira favorável de fazer essa divisão.
Passo 4
Finalmente, a probabilidade é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras.
Resposta
A probabilidade de ambos os grupos terem o mesmo número de homens e mulheres é 0.
Exercícios relacionados
Verifique qual das congruências abaixo tem solução:
.
Usando a decomposição em fatores primos, determine
e
onde
e
.
Em um grupo de 8 homens e 10 mulheres foram selecionadas 7 pessoas. Qual é a probabilidade de que dentre os selecionados tenhamos 5 homens - 2 mulheres?
Lâmpadas
Doze lâmpadas são testadas para ver se duram tanto quanto afirma o fabricante. Três não passam no teste. Duas são selecionadas ao acaso, sem reposição.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.
(a) Obtenha a probabilidade de as duas lâmpadas fracassarem no teste.
(b) Obtenha a probabilidade de as duas passarem no teste.
© Obtenha a probabilidade de pelo menos uma fracassar no teste.