Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=139 e b=148.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Matemática onde precisamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números, a = 139 e b = 148. Para isso, vamos usar a decomposição em fatores primos, que é uma técnica que quebra cada número em seus multiplicadores primos.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o número a = 139 em fatores primos. Um número primo é um número maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo. Como 139 é primo (não tem outros divisores além de 1 e 139), a sua decomposição é simplesmente 139.
139 = 139^1

Passo 3

Agora, vamos decompor o número b = 148 em fatores primos. Para isso, vamos dividir 148 pelos menores números primos até que o resultado seja 1.
148 div 2 = 74 74 div 2 = 37 37 div 37 = 1
Então, a decomposição de 148 em fatores primos é:
148 = 2^2 times 37^1

Passo 4

Com as decomposições em fatores primos das duas números, podemos encontrar o máximo divisor comum (mdc) observando os fatores primos que são comuns a ambos os números, e tomando o menor expoente de cada fator.
No nosso caso:
  • 139 não tem fatores primos em comum com 148 além de 1.
Portanto, o mdc é:
mdc(139, 148) = 1

Passo 5

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc), vamos usar todos os fatores primos envolvidos, tomando o maior expoente de cada fator.
Os fatores primos são:
  • 2^2 (de 148)
  • 37^1 (de 148)
  • 139^1 (de 139)
Multiplicando esses fatores:
mmc(139, 148) = 2^2 times 37^1 times 139^1 = 4 times 37 times 139
Calculando:
4 times 37 = 148 148 times 139 = 20.572

Resposta

mdc(139, 148) = 1 mmc(139, 148) = 20.572

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