Um grupo de 6 homens e 6 mulheres precisam ser distribuídos nos dois lados opostos de uma mesa retangular, de tal forma que em frente de cada mulher esteja um homem. Quantas opções existem?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo de 6 homens e 6 mulheres que precisam sentar-se nos dois lados opostos de uma mesa retangular. A condição é que, em frente de cada mulher, esteja um homem. Esse problema está relacionado à combinatória, especificamente à contagem de arranjos. Para resolver, vamos precisar utilizar fatoriais e entender como combinar os grupos de homens e mulheres de forma que a condição seja satisfeita.
Passo 2
Vamos começar visualizando a mesa. Uma mesa retangular tem dois lados mais longos, cada um com 6 cadeiras. Vamos chamar um lado de Lado A e o outro de Lado B. A condição diz que, em frente de cada mulher, deve estar um homem. Isso significa que, se colocarmos todas as mulheres em um lado, todas as posições em frente a elas precisam ser ocupadas por homens, e vice-versa.
Passo 3
Decidimos fixar as mulheres em um dos lados da mesa, digamos no Lado A. Assim, automaticamente, os homens devem se sentar no Lado B, pois cada mulher no Lado A tem um homem diretamente em frente a ela no Lado B. A outra possibilidade seria colocar os homens no Lado A e as mulheres no Lado B, mas como os grupos são iguais, isso não muda o número total de opções.
Passo 4
Agora, calcular o número de formas de organizar as mulheres no Lado A. Como temos 6 mulheres e 6 posições, o número de arranjos possíveis é dado por 6 fatorial, que é representado por
.
Passo 5
Da mesma forma, precisamos organizar os 6 homens no Lado B. O número de arranjos para os homens também é
, que é igual a 720.
Passo 6
Para encontrar o número total de opções de disposição dos homens e mulheres atendendo à condição dada, multiplicamos o número de arranjos das mulheres pelo número de arranjos dos homens.
Resposta
Existem 518.400 opções para distribuir os 6 homens e 6 mulheres nos dois lados opostos da mesa, de forma que em frente de cada mulher esteja um homem.