De quantas maneiras cinco mulheres e seis homens podem ser acomodados ao redor de uma mesa circular de modo que as mulheres permaneçam juntas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir de quantas maneiras cinco mulheres e seis homens podem se sentar ao redor de uma mesa circular, garantindo que as mulheres fiquem sempre juntas. Vamos usar conceitos de permutação circular e agrupamento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma mesa circular, sabemos que o número de arranjos é diferente de uma linha reta. Em permutação circular, o número de maneiras de organizar pessoas ao redor de uma mesa é . Isso porque em uma mesa circular, não consideramos rotações diferentes como arranjos distintos.

Passo 3

Agora, queremos que as cinco mulheres fiquem sempre juntas. Para facilitar, podemos pensar nas cinco mulheres como se fosse um único “bloco” ou “super pessoa”. Assim, ao invés de ter 11 pessoas (5 mulheres + 6 homens), teremos 7 entidades para organizar: esse bloco de mulheres mais os 6 homens.

Passo 4

Vamos calcular quantas maneiras podemos organizar essas 7 entidades ao redor da mesa. Usando a fórmula da permutação circular:
Então, temos 720 maneiras de organizar as 7 entidades ao redor da mesa.

Passo 5

Mas não acabou! Dentro do bloco das mulheres, elas também podem se organizar entre si. Como são 5 mulheres, o número de formas de arranjá-las entre si é dado por :
Então, para cada uma das 720 maneiras de organizar o “bloco” e os homens, temos 120 maneiras de organizar as mulheres dentro do bloco.

Passo 6

Finalmente, para encontrar o número total de arranjos possíveis, multiplicamos as duas quantidades:

Resposta

As mulheres e homens podem ser acomodados de 86.400 maneiras ao redor da mesa, mantendo as mulheres sempre juntas.

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