y = 3 x e^x, (x0, y0) = (0, 0)

Passo 1

O enunciado nos apresenta a função e o ponto . Vamos trabalhar com cálculo diferencial para encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto dado. Precisaremos calcular a derivada da função para determinar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função é , que é o produto de e . Para derivar essa função, usaremos a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto diz que se temos uma função , então sua derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • então
  • então

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Portanto, a inclinação da tangente é 3.

Passo 7

Sabemos que a equação da reta tangente tem a forma:
onde é a inclinação e é o ponto de tangência.

Passo 8

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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