Para
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as segundas derivadas parciais mistas de uma função
. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e como elas se comportam quando derivamos mais de uma vez em diferentes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo,
) significa que tratamos as outras variáveis (neste caso,
e
) como constantes e derivamos apenas em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre derivadas parciais de segunda ordem, especificamente as derivadas mistas. Isso significa que vamos derivar a função duas vezes, cada vez em relação a variáveis diferentes. No nosso caso, vamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos começar calculando
. A função
em relação a
se torna:
Aqui, derivamos
em relação a
e como não há
nessa parte, a derivada é zero. Já
derivado em relação a
dá
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando, a derivada de
em relação a
é apenas
, já que
é tratado como constante.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular
. A função
em relação a
fica:
Aqui, derivamos
em relação a
e obtemos
. Para
, a derivada em relação a
é
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte, e a derivada de
em relação a
é
.
Resposta
Portanto, temos que:
Como você pode ver, as duas derivadas parciais mistas são iguais, ambas iguais a
.