Para h(x, y, z)=x^2 y+y z^2, encontre partial^2 hpartial y partial z e partial^2 hpartial z partial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as segundas derivadas parciais mistas de uma função . Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e como elas se comportam quando derivamos mais de uma vez em diferentes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo, ) significa que tratamos as outras variáveis (neste caso, e ) como constantes e derivamos apenas em relação a .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre derivadas parciais de segunda ordem, especificamente as derivadas mistas. Isso significa que vamos derivar a função duas vezes, cada vez em relação a variáveis diferentes. No nosso caso, vamos calcular e .

Passo 4

Vamos começar calculando partial hpartial z = partialpartial z (x^2 y) + partialpartial z (y z^2) = 0 + 2 y z = 2 y z . A função em relação a se torna:
Aqui, derivamos em relação a e como não há nessa parte, a derivada é zero. Já derivado em relação a .

Passo 5

Agora, vamos derivar partial^2 hpartial y partial z = partialpartial y (2 y z) = 2 z em relação a :
Simplificando, a derivada de em relação a é apenas , já que é tratado como constante.

Passo 6

Em seguida, vamos calcular partial hpartial y = partialpartial y (x^2 y) + partialpartial y (y z^2) = x^2 + z^2 . A função em relação a fica:
Aqui, derivamos em relação a e obtemos . Para , a derivada em relação a é .

Passo 7

Agora, vamos derivar partial^2 hpartial z partial y = partialpartial z (x^2 + z^2) = 0 + 2 z = 2 z em relação a :
A derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte, e a derivada de em relação a é .

Resposta

Portanto, temos que:
partial^2 hpartial y partial z = 2 z e partial^2 hpartial z partial y = 2 z
Como você pode ver, as duas derivadas parciais mistas são iguais, ambas iguais a .

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