Seja v(x, y, z) = x^2 y + y z + cos(x z). Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as derivadas mistas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as derivadas mistas. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas em relação a cada uma das variáveis , e duas vezes, combinando-as quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial de segunda ordem. Basicamente, são as derivadas que a gente calcula duas vezes em relação às variáveis da função. Por exemplo, significa que a gente deriva a função duas vezes em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de em relação a cada variável.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso inclui derivar novamente cada uma das primeiras derivadas.
Primeira derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes:
Derivada parcial mista em relação a e :
Derivada parcial mista em relação a e :
Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes:
Derivada parcial mista em relação a e :
Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de são:

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