Há duas retas que tangenciam o gráfico da parábola
e que passam pelo ponto
. Quais são elas ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem que encontrar duas retas que tocam a parábola
em um ponto e ainda passam pelo ponto
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva e usar um pouco de cálculo para achar essas retas específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente a uma parábola toca a curva em exatamente um ponto. Vamos chamar esse ponto de tangência de
, já que na parábola
, para cada
temos
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função
. A derivada de
é
. Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da parábola.
Passo 4
No ponto de tangência
, a inclinação da reta tangente será
. Então, a equação da reta tangente pode ser escrita usando a fórmula da reta:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação da reta:
Essa é a equação geral da reta tangente em termos de
.
Passo 6
Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto
. Então, vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar
:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Passo 8
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar as duas retas tangentes substituindo esses valores na equação da reta tangente
.
Para
:
Para
:
Resposta
As duas retas tangentes à parábola
que passam pelo ponto
são:
e