Há duas retas que tangenciam o gráfico da parábola f(x) = x^2 e que passam pelo ponto (3,2). Quais são elas ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem que encontrar duas retas que tocam a parábola em um ponto e ainda passam pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva e usar um pouco de cálculo para achar essas retas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente a uma parábola toca a curva em exatamente um ponto. Vamos chamar esse ponto de tangência de , já que na parábola , para cada temos .

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função . A derivada de é . Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da parábola.

Passo 4

No ponto de tangência , a inclinação da reta tangente será . Então, a equação da reta tangente pode ser escrita usando a fórmula da reta:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a equação da reta:
Essa é a equação geral da reta tangente em termos de .

Passo 6

Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto . Então, vamos substituir e na equação da reta para encontrar :

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :

Passo 8

Agora que temos os valores de , podemos encontrar as duas retas tangentes substituindo esses valores na equação da reta tangente .
Para :
Para :

Resposta

As duas retas tangentes à parábola que passam pelo ponto são:
e

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