Verifique se cada uma das seguintes sequências
converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões com termos de maior grau.
Passo 2
Primeiro, observamos que à medida que
cresce, os termos
e
são os que mais influenciam o comportamento da fração dentro da raiz. Isso acontece porque, para grandes valores de
, os termos de menor grau (como 5 e 7) têm pouco impacto comparados aos termos quadráticos.
Passo 3
Simplificamos a fração focando nos termos de maior grau:
Isso significa que, para
muito grande, a fração se aproxima de
.
Passo 4
Agora, aplicamos a raiz quadrada ao resultado simplificado:
Portanto, à medida que
tende ao infinito,
se aproxima de
.
Resposta
A sequência
converge, e seu limite é
.