Verifique se cada uma das seguintes sequências a_n, n=1, infinito converge ou diverge. Se a sequência convergir, indique seu limite.
(e) a_n = raiz((4n^2 + 5) / (9n^2 + 7))

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões com termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro, observamos que à medida que cresce, os termos e são os que mais influenciam o comportamento da fração dentro da raiz. Isso acontece porque, para grandes valores de , os termos de menor grau (como 5 e 7) têm pouco impacto comparados aos termos quadráticos.

Passo 3

Simplificamos a fração focando nos termos de maior grau:
Isso significa que, para muito grande, a fração se aproxima de .

Passo 4

Agora, aplicamos a raiz quadrada ao resultado simplificado:
Portanto, à medida que tende ao infinito, se aproxima de .

Resposta

A sequência converge, e seu limite é .

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