Mostre que a função
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função
é contínua em 0, mas não diferenciável nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivada, além de entender limites.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
é contínua em 0. Para isso, precisamos mostrar que:
Sabemos que
. Então, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que
para todo
. Assim, temos:
E sabemos que
. Pelo Teorema do Aperfeiçoamento (Teorema do Squeeze), concluímos que:
Portanto,
é contínua em 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é diferenciável em 0. A derivada de
em 0, se existir, é dada por:
Novamente, sabemos que
. Então:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Isso significa que o limite não existe (é infinito). Portanto,
não é diferenciável em 0.
Resposta
A função
é contínua em 0, mas não é diferenciável nesse ponto.