Mostre que a função
f(x) = { x^(1/3) sen(1/x) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função
é contínua em 0, mas não diferenciável nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivada, além de entender limites.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que é contínua em 0. Para isso, precisamos mostrar que:
Sabemos que . Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que para todo . Assim, temos:
E sabemos que . Pelo Teorema do Aperfeiçoamento (Teorema do Squeeze), concluímos que:
Portanto, é contínua em 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é diferenciável em 0. A derivada de em 0, se existir, é dada por:
Novamente, sabemos que . Então:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito. Isso significa que o limite não existe (é infinito). Portanto, não é diferenciável em 0.

Resposta

A função é contínua em 0, mas não é diferenciável nesse ponto.

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