Identifique as superfícies parametrizadas pelas funções abaixo
r(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u), u, v em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual superfície geométrica é descrita pela função vetorial . Estamos lidando com parametrizações de superfícies em cálculo vetorial. Para resolver, vamos analisar cada componente da função e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas primeiras coordenadas: e . Essas lembram as equações paramétricas de um círculo no plano XY, onde u funciona como o raio e v é o ângulo. Então, para cada valor de u, desenhamos um círculo com raio u.

Passo 3

Agora, a terceira coordenada é simplesmente u. Isso significa que, à medida que u aumenta ou diminui, estamos movendo o círculo para cima ou para baixo no eixo Z. Ou seja, cada círculo está em um plano paralelo ao plano XY, mas deslocado ao longo do eixo Z proporcional a u.

Passo 4

Juntando tudo, temos uma sequência de círculos com raios variando conforme u, empilhados ao longo do eixo Z. Essa descrição corresponde a um cone, onde o vértice está na origem (0,0,0) e os círculos aumentam de tamanho conforme nos afastamos do vértice.

Resposta

A superfície parametrizada pela função é um cone com vértice na origem.

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