Hallar el área entre las curvas de las funciones y las rectas verticales en cada caso.
r)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem que achar a área entre a curva da função e a reta vertical . Isso envolve cálculo de integrais, que é parte de cálculo integral. A gente vai precisar entender como configurar a integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa achar a área entre uma função e uma reta vertical. A reta vertical é uma linha paralela ao eixo y que corta o eixo x no ponto . A função é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca.

Passo 3

Para encontrar a área entre a função e a reta vertical, precisamos definir os limites de integração. Geralmente, isso envolve duas retas verticais, mas como só temos uma, vamos considerar que a outra reta é o eixo y ( ), um ponto comum para limitar a área. Então, vamos integrar de até .

Passo 4

A área entre duas curvas, ou entre uma curva e uma reta vertical, é dada pela integral da função no intervalo definido. No nosso caso:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de é o logaritmo natural:
Como estamos calculando uma área, a constante não é necessária. Vamos avaliar a integral nos limites de a :

Passo 6

Sabemos que , então a expressão fica:

Resposta

A área entre as curvas é unidades de área.

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c)
A inclinação da reta secante por e da parábola é . Segue que a inclinação da reta tangente a essa parábola no ponto é
Converta os arcos abaixo em radianos:
Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto .