Hallar el área entre las curvas de las funciones y las rectas verticales en cada caso.
r)
r)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem que achar a área entre a curva da função
e a reta vertical
. Isso envolve cálculo de integrais, que é parte de cálculo integral. A gente vai precisar entender como configurar a integral para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa achar a área entre uma função e uma reta vertical. A reta vertical
é uma linha paralela ao eixo y que corta o eixo x no ponto
. A função
é uma hipérbole que se aproxima dos eixos, mas nunca os toca.
Passo 3
Para encontrar a área entre a função e a reta vertical, precisamos definir os limites de integração. Geralmente, isso envolve duas retas verticais, mas como só temos uma, vamos considerar que a outra reta é o eixo y (
), um ponto comum para limitar a área. Então, vamos integrar de
até
.
Passo 4
A área
entre duas curvas, ou entre uma curva e uma reta vertical, é dada pela integral da função no intervalo definido. No nosso caso:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é o logaritmo natural:
Como estamos calculando uma área, a constante
não é necessária. Vamos avaliar a integral nos limites de
a
:
Passo 6
Sabemos que
, então a expressão fica:
Resposta
A área entre as curvas é
unidades de área.
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c)
c)
A inclinação da reta secante por
e
da parábola
é
. Segue que a inclinação da reta tangente a essa parábola no ponto
é
Converta os arcos abaixo em radianos:
Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.