Hallar c in[1,3] / 2 f(c)=integral1^3(3 x^2-27) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é encontrar um número no intervalo de 1 a 3 tal que a função seja igual à média da integral de entre 1 e 3. Isso envolve o Teorema do Valor Médio para Integrais, que basicamente diz que existe pelo menos um ponto no intervalo onde a função atinge essa média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de integral1^3 (3x^2 - 27) , dx de 1 a 3:
integral 3x^2 , dx = x^3
Para integrar, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -27 , dx = -27x
[ x^3 - 27x ]1^3
Então, a integral fica:
(3^3 - 27 cdot 3) - (1^3 - 27 cdot 1) = (27 - 81) - (1 - 27) = -54 - (-26) = -28
Agora, substituímos os limites de integração:

Passo 3

Segundo o teorema, precisamos multiplicar o resultado da integral por 13 - 1 cdot (-28) = 12 cdot (-28) = -14 , onde e . Então:
Esse valor representa a média da função no intervalo.

Passo 4

Agora, igualamos essa média à função f(c) = 3c^2 - 27 = -14 para encontrar 3c^2 = -14 + 27 :
3c^2 = 13
Resolvendo para c^2 = 133 :
c = raiz133

Resposta

O valor de c = raiz133 approx 2,08 no intervalo que satisfaz a equação é:

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