Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando o método de frações parciais. Isso envolve decompôr a fração em termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente. Para isso, precisamos fatorar o denominador e encontrar constantes que nos ajudem nessa decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações simples. Como o denominador tem
e
, a decomposição fica assim:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores estratégicos para
que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolhendo
:
Passo 6
Agora, escolhendo
:
Passo 7
Para encontrar
e
, podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes dos termos de mesma potência.
Expandindo o lado direito:
Juntando tudo:
Substituindo
e
:
Agrupando os termos:
Comparando os coeficientes:
- Para
: - Para
: → - Para
: → - Termo constante:
→
Resolvendo:
Da primeira equação e da segunda:
e
Da primeira equação e da segunda:
Somando as duas:
→
Substituindo na primeira:
→
Resposta
Com os valores encontrados
,
,
e
, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Somando tudo:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel
:
b)
b)
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