Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral 3 x^3-10 x^2-x(x^2-1)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 3x^3-10x^2-x(x^2-1)^2 , dx usando o método de frações parciais. Isso envolve decompôr a fração em termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente. Para isso, precisamos fatorar o denominador e encontrar constantes que nos ajudem nessa decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador. Sabemos que:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, elevando ao quadrado:
(x^2 - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações simples. Como o denominador tem (x - 1)^2 e (x + 1)^2, a decomposição fica assim:
3x^3-10x^2-x(x-1)^2(x+1)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1 + D(x+1)^2
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 3x^3 - 10x^2 - x = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2 para eliminar as frações:

Passo 5

Para encontrar os valores de 3(1)^3 - 10(1)^2 - 1 = A(0) + B(2)^2 + C(2)(0) + D(0) 3 - 10 - 1 = 4B -8 = 4B B = -2 e , vamos escolher valores estratégicos para que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolhendo :

Passo 6

Agora, escolhendo 3(-1)^3 - 10(-1)^2 - (-1) = A(0) + B(0) + C(0) + D(2)^2 -3 - 10 + 1 = 4D -12 = 4D D = -3 :

Passo 7

Para encontrar A(x-1)(x+1)^2 = A(x-1)(x^2 + 2x + 1) = A(x^3 + 2x^2 + x - x^2 - 2x -1) = A(x^3 + x^2 - x -1) C(x+1)(x-1)^2 = C(x+1)(x^2 - 2x +1) = C(x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x +1) = C(x^3 - x^2 - x +1) e 3x^3 -10x^2 -x = A(x^3 + x^2 - x -1) + B(x+1)^2 + C(x^3 - x^2 - x +1) + D(x-1)^2 , podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes dos termos de mesma potência.
Expandindo o lado direito:
3x^3 -10x^2 -x = A(x^3 + x^2 - x -1) -2(x^2 + 2x +1) + C(x^3 - x^2 - x +1) -3(x^2 - 2x +1)
Juntando tudo:
3x^3 -10x^2 -x = (A + C)x^3 + (A - C -2 -3)x^2 + (-A - C +4)x + (-A + C -2 -3)
Substituindo e :
Agrupando os termos:
Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Resolvendo:
Da primeira equação e da segunda:
e
Somando as duas:
Substituindo na primeira:

Resposta

Com os valores encontrados 3x^3-10x^2-x(x^2-1)^2 = -1x-1 + -2(x-1)^2 + 4x+1 + -3(x+1)^2 , integral -1x-1 , dx = -ln|x-1| integral -2(x-1)^2 , dx = 2x-1 integral 4x+1 , dx = 4ln|x+1| integral -3(x+1)^2 , dx = 3x+1 , - ln|x-1| + 2x-1 + 4ln|x+1| + 3x+1 + C e , a decomposição em frações parciais fica:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Somando tudo:
Onde é a constante de integração.

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