Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. Isso envolve decompôr a fração em termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente. Para isso, precisamos fatorar o denominador e encontrar constantes que nos ajudem nessa decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador. Sabemos que:
Então, elevando ao quadrado:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações simples. Como o denominador tem e , a decomposição fica assim:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Para encontrar os valores de e , vamos escolher valores estratégicos para que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolhendo :

Passo 6

Agora, escolhendo :

Passo 7

Para encontrar e , podemos expandir a equação geral e comparar os coeficientes dos termos de mesma potência.
Expandindo o lado direito:
Juntando tudo:
Substituindo e :
Agrupando os termos:
Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Resolvendo:
Da primeira equação e da segunda:
e
Somando as duas:
Substituindo na primeira:

Resposta

Com os valores encontrados , , e , a decomposição em frações parciais fica:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Somando tudo:
Onde é a constante de integração.

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Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
b)
Hallar