Hallar el área entre las curvas de las funciones y las rectas verticales en cada caso.
a) f(x) = x^2, g(x) = raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício que pede para encontrar a área entre as curvas das funções e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde as duas funções se encontram para definir os limites da integração e, depois, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções e . Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para encontrar os valores de :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Então, as funções se intersectam nos pontos e . Esses serão nossos limites de integração.

Passo 6

Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de 0 a 1.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de a :

Passo 8

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos :
E depois integramos :

Passo 9

Substituindo as integrais na expressão da área:

Passo 10

Agora, avaliamos as expressões nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de 0 a 1 é unidades de área.

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