Hallar el área entre las curvas de las funciones y las rectas verticales en cada caso.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício que pede para encontrar a área entre as curvas das funções
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde as duas funções se encontram para definir os limites da integração e, depois, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções
e
. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Então, as funções se intersectam nos pontos
e
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 6
Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor entre 0 e 1, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
no intervalo de 0 a 1.
Passo 7
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Passo 8
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos
:
E depois integramos
:
Passo 9
Substituindo as integrais na expressão da área:
Passo 10
Agora, avaliamos as expressões nos limites de 1 e 0:
Para
:
Para
:
Resposta
A área entre as curvas
e
no intervalo de 0 a 1 é
unidades de área.
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e
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c)
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