Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = raiz(2x - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define o domínio e o recorrido de uma função, além de como trabalhar com raízes quadradas em expressões com duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como a função tem uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos que garantir que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar as condições que e precisam satisfazer. Podemos reescrever a inequação assim:
Isso significa que, para cada valor de , o valor de tem que ser pelo menos .

Passo 4

Então, o domínio da função é todo par que satisfaz:
Ou seja, o conjunto de todos os pontos no plano onde é maior ou igual a .

Passo 5

Agora, vamos para o recorrido da função. O recorrido é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como estamos lidando com uma raiz quadrada, sabemos que o resultado será sempre maior ou igual a zero.
Então, temos:
Além disso, não há um limite superior para o valor de , pois dependendo dos valores de e , pode crescer indefinidamente.

Resposta

Domínio: Todos os pares tais que .
Recorrido: Todos os números reais não negativos, ou seja, .

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