Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio e o recorrido da função
. Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e desigualdades para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida.
Passo 3
Sabemos que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. Então, para que
esteja definida, o que está dentro do logaritmo precisa ser positivo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Isso pode ser reescrito como:
O que significa que o quadrado de
deve ser maior que o quadrado de
.
Passo 5
Para entender melhor, vamos reescrever a desigualdade:
Ou seja, o valor absoluto de
tem que ser maior que o valor absoluto de
. Geometricamente, isso representa as regiões no plano onde
está mais distante da origem do que
.
Passo 6
Então, o domínio da função
é todos os pares
tal que:
Isso inclui todas as áreas entre as retas
e
, excetuando essas linhas.
Passo 7
Agora, vamos determinar o recorrido da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Passo 8
Como
e
pode ser qualquer número real positivo, o logaritmo disso pode resultar em qualquer número real. Ou seja, o logaritmo natural cobre todo o conjunto dos números reais.
Resposta
- Domínio:
- Recorrido: