Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = log(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio e o recorrido da função . Vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e desigualdades para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida.

Passo 3

Sabemos que o logaritmo natural, , só está definido quando . Então, para que esteja definida, o que está dentro do logaritmo precisa ser positivo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Isso pode ser reescrito como:
O que significa que o quadrado de deve ser maior que o quadrado de .

Passo 5

Para entender melhor, vamos reescrever a desigualdade:
Ou seja, o valor absoluto de tem que ser maior que o valor absoluto de . Geometricamente, isso representa as regiões no plano onde está mais distante da origem do que .

Passo 6

Então, o domínio da função é todos os pares tal que:
Isso inclui todas as áreas entre as retas e , excetuando essas linhas.

Passo 7

Agora, vamos determinar o recorrido da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.

Passo 8

Como e pode ser qualquer número real positivo, o logaritmo disso pode resultar em qualquer número real. Ou seja, o logaritmo natural cobre todo o conjunto dos números reais.

Resposta

  • Domínio:
  • Recorrido:

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