Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e o recorrido da função
. Basicamente, vamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (recorrido). Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e análise de funções.
Passo 2
Encontrando o domínio da função
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida. A função
é uma fração, e sabemos que uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para encontrar os valores que não podem ser permitidos:
Resolvendo essa equação:
Isso significa que a função não está definida quando
ou
. Portanto, para o domínio da função, devemos excluir esses casos.
Passo 3
Expressando o domínio
O domínio é o conjunto de todos os pares
onde a função está definida. Com base no que encontramos no passo anterior, o domínio é:
Ou seja, todos os números reais para
e
, exceto quando
é igual a
ou a
.
Passo 4
Encontrando o recorrido da função
Agora, vamos determinar quais valores a função pode assumir, ou seja, o seu recorrido. Para isso, vamos analisar a expressão
.
Podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Para simplificar, vamos introduzir uma variável
(assumindo
), então:
Essa expressão mostra que, para qualquer valor de
(que pode ser qualquer número real exceto
para evitar a divisão por zero), podemos encontrar um valor para
. Isto implica que o recorrido da função pode assumir qualquer valor real.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números reais
e
tais que
e
. Já o recorrido da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
pode assumir qualquer valor real.