Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = x * y / (x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e o recorrido da função . Basicamente, vamos descobrir para quais valores de e a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (recorrido). Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e análise de funções.

Passo 2

Encontrando o domínio da função
Primeiro, precisamos descobrir para quais valores de e a função está definida. A função é uma fração, e sabemos que uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para encontrar os valores que não podem ser permitidos:
Resolvendo essa equação:
Isso significa que a função não está definida quando ou . Portanto, para o domínio da função, devemos excluir esses casos.

Passo 3

Expressando o domínio
O domínio é o conjunto de todos os pares onde a função está definida. Com base no que encontramos no passo anterior, o domínio é:
Ou seja, todos os números reais para e , exceto quando é igual a ou a .

Passo 4

Encontrando o recorrido da função
Agora, vamos determinar quais valores a função pode assumir, ou seja, o seu recorrido. Para isso, vamos analisar a expressão .
Podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Para simplificar, vamos introduzir uma variável (assumindo ), então:
Essa expressão mostra que, para qualquer valor de (que pode ser qualquer número real exceto para evitar a divisão por zero), podemos encontrar um valor para . Isto implica que o recorrido da função pode assumir qualquer valor real.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os números reais e tais que e . Já o recorrido da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, pode assumir qualquer valor real.

Exercícios relacionados