Hallar las derivadas parciales de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável onde derivamos funções com mais de uma variável em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usaremos a regra do quociente, que diz que, se temos uma função
, sua derivada em relação a
é
.
Aqui,
e
.
Derivando
em relação a
:
(porque a derivada de
é
e
é tratado como constante).
Derivando
em relação a
:
.
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
:
Expanda os termos no numerador:
Subtraindo:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a regra do quociente, onde
e
:
Derivando
em relação a
:
.
Derivando
em relação a
:
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
:
Expanda os termos no numerador:
Subtraindo:
Então, temos:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e