Hallar las derivadas parciales de: f(x, y) = (3 x^2 - 2 y^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável onde derivamos funções com mais de uma variável em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usaremos a regra do quociente, que diz que, se temos uma função , sua derivada em relação a é .
Aqui, e .
Derivando em relação a :
(porque a derivada de é e é tratado como constante).
Derivando em relação a :
.
Agora aplicamos a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de :
Expanda os termos no numerador:
Subtraindo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando novamente a regra do quociente, onde e :
Derivando em relação a :
.
Derivando em relação a :
.
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de :
Expanda os termos no numerador:
Subtraindo:
Então, temos:

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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