Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = x^3 + x * y^2 - 3 * x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais segundas da função . Isso envolve conceitos de cálculo de derivadas parciais, e vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e duas vezes cada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de .
A derivada parcial em relação a , denotada por , significa que derivamos em relação a , tratando como uma constante.
Derivando cada termo de em relação a :
  • (já que é constante)
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , denotada por .
Derivando cada termo de em relação a :
  • (já que é constante)
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais segundas. Isso significa derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a e .

Passo 5

Primeira derivada parcial segunda em relação a , denotada por , é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
  • (pois é constante)
Então, temos:

Passo 6

Segunda derivada parcial mista em relação a e , denotada por , é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
  • (pois é constante)
Então, temos:

Passo 7

Segunda derivada parcial mista em relação a e , denotada por , é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
Então, temos:

Passo 8

Finalmente, segunda derivada parcial em relação a , denotada por , é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
Então, temos:

Resposta

As derivadas parciais segundas da função são:

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