Hallar las derivadas parciales segundas de:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais segundas da função
. Isso envolve conceitos de cálculo de derivadas parciais, e vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e
duas vezes cada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a
, denotada por
, significa que derivamos
em relação a
, tratando
como uma constante.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
-
(já que é constante) -
Então, a primeira derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, denotada por
.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
(já que é constante) -
-
Então, a primeira derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais segundas. Isso significa derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 5
Primeira derivada parcial segunda em relação a
, denotada por
, é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
-
-
(pois é constante) -
Então, temos:
Passo 6
Segunda derivada parcial mista em relação a
e
, denotada por
, é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
-
(pois é constante) -
-
Então, temos:
Passo 7
Segunda derivada parcial mista em relação a
e
, denotada por
, é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Então, temos:
Passo 8
Finalmente, segunda derivada parcial em relação a
, denotada por
, é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Então, temos:
Resposta
As derivadas parciais segundas da função
são: