Seja f(x) = e^x / x^3. Esboce o gráfico de f(x) depois de (a) especificar o domínio da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa esboçar o gráfico dela. Primeiro, vamos entender sobre qual matéria estamos falando: estamos lidando com Análise de Funções, especificamente estudando o domínio da função, que é onde ela está “vivendo”, ou seja, para quais valores de a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar verificar quais valores de não deixam o denominador zero e se pode ser positivo ou negativo.

Passo 2

Vamos identificar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Neste caso, temos uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Sabemos que quando . Portanto, não pode ser igual a zero. Além disso, a base do denominador, , permite que seja positivo ou negativo, já que elevar um número negativo a um expoente ímpar resulta em um número negativo, que é válido para o nosso caso.
Então, o domínio da função é todos os números reais, exceto :
í

Passo 3

Agora que sabemos o domínio, vamos entender como a função se comporta nas diferentes partes desse domínio. Para esboçar o gráfico, é importante analisar os limites da função quando se aproxima de valores críticos, como tendendo a zero e tendendo a mais ou menos infinito.
Primeiro, vamos ver o que acontece quando se aproxima de zero:
  • Se se aproxima de zero pela direita ( ), tende a 1 e tende a 0 positivo, então tende a .
  • Se se aproxima de zero pela esquerda ( ), tende a 1 e tende a 0 negativo, então tende a .
Isso indica que o eixo ( ) é uma assíntota vertical da função.

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da função quando tende a mais ou menos infinito:
  • Quando , cresce muito rápido e também cresce, mas cresce mais rápido que qualquer polinômio. Portanto, .
  • Quando , tende a zero e tende a . Assim, (mais precisamente, , já que o denominador é negativo).
Isso nos dá uma ideia das assíntotas horizontais:
  • é uma assíntota horizontal quando .

Passo 5

Para entender melhor a forma do gráfico, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, ou seja, onde a função muda de crescente para decrescente e vice-versa. Para isso, precisamos encontrar a derivada de e igualá-la a zero.
A derivada de usando a regra do quociente é:
Igualando a derivada a zero:
Como e nunca são zero, temos que , ou seja, .
Então, é um ponto crítico. Para verificar se é máximo ou mínimo, podemos observar o sinal da derivada:
  • Para , , então : função decrescente.
  • Para , , então : função crescente.
Isso indica que é um ponto de mínimo relativo da função.

Resposta

Após analisar o domínio e o comportamento da função , concluímos que:
  • O domínio é .
  • Existe uma assíntota vertical em .
  • A função tende a quando e a quando .
  • Existe uma assíntota horizontal em quando .
  • A função tem um ponto de mínimo relativo em .
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função, mostrando o comportamento próximo a zero, o crescimento para , a aproximação de zero para e o ponto de mínimo em .

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