Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa esboçar o gráfico dela. Primeiro, vamos entender sobre qual matéria estamos falando: estamos lidando com Análise de Funções, especificamente estudando o domínio da função, que é onde ela está “vivendo”, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar verificar quais valores de
não deixam o denominador zero e se
pode ser positivo ou negativo.
Passo 2
Vamos identificar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Neste caso, temos uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Sabemos que
quando
. Portanto,
não pode ser igual a zero. Além disso, a base do denominador,
, permite que
seja positivo ou negativo, já que elevar um número negativo a um expoente ímpar resulta em um número negativo, que é válido para o nosso caso.
Então, o domínio da função é todos os números reais, exceto
:
Passo 3
Agora que sabemos o domínio, vamos entender como a função se comporta nas diferentes partes desse domínio. Para esboçar o gráfico, é importante analisar os limites da função quando
se aproxima de valores críticos, como
tendendo a zero e
tendendo a mais ou menos infinito.
Primeiro, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de zero:
- Se
se aproxima de zero pela direita ( ), tende a 1 e tende a 0 positivo, então tende a . - Se
se aproxima de zero pela esquerda ( ), tende a 1 e tende a 0 negativo, então tende a .
Isso indica que o eixo
(
) é uma assíntota vertical da função.
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da função quando
tende a mais ou menos infinito:
- Quando
, cresce muito rápido e também cresce, mas cresce mais rápido que qualquer polinômio. Portanto, . - Quando
, tende a zero e tende a . Assim, (mais precisamente, , já que o denominador é negativo).
Isso nos dá uma ideia das assíntotas horizontais:
-
é uma assíntota horizontal quando .
Passo 5
Para entender melhor a forma do gráfico, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, ou seja, onde a função muda de crescente para decrescente e vice-versa. Para isso, precisamos encontrar a derivada de
e igualá-la a zero.
A derivada de
usando a regra do quociente é:
Igualando a derivada a zero:
Como
e
nunca são zero, temos que
, ou seja,
.
Então,
é um ponto crítico. Para verificar se é máximo ou mínimo, podemos observar o sinal da derivada:
- Para
, , então : função decrescente. - Para
, , então : função crescente.
Isso indica que
é um ponto de mínimo relativo da função.
Resposta
Após analisar o domínio e o comportamento da função
, concluímos que:
- O domínio é
. - Existe uma assíntota vertical em
. - A função tende a
quando e a quando . - Existe uma assíntota horizontal em
quando . - A função tem um ponto de mínimo relativo em
.
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função, mostrando o comportamento próximo a zero, o crescimento para
, a aproximação de zero para
e o ponto de mínimo em
.
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