Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos estacionários da função
e depois classificá-los. Isso envolve usar os conceitos de derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos estacionários. Pontos estacionários são onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os pontos estacionários, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como o termo
nunca é zero, podemos simplificar as equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
- Ou
- Ou
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
e
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
e
Passo 7
Agora, temos dois pontos estacionários:
Vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada.
Passo 8
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Usando a regra do produto:
Usando a regra do produto:
Usando a regra do produto:
Passo 9
Calculamos o determinante da matriz Hessiana
:
Vamos avaliar
em cada ponto.
Para o ponto
:
Então,
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Ent��o,
Agora precisamos verificar
. Como
, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
Os pontos estacionários são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de máximo local.
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Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
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