Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x * (y + 1) * e^(x + y - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos estacionários da função e depois classificá-los. Isso envolve usar os conceitos de derivadas parciais e testes de segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos estacionários. Pontos estacionários são onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os pontos estacionários, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como o termo nunca é zero, podemos simplificar as equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
  • Ou
  • Ou
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, e
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, e

Passo 7

Agora, temos dois pontos estacionários:
Vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada.

Passo 8

Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Usando a regra do produto:
Usando a regra do produto:
Usando a regra do produto:

Passo 9

Calculamos o determinante da matriz Hessiana :
Vamos avaliar em cada ponto.
Para o ponto :
Então,
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Ent��o,
Agora precisamos verificar . Como , o ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos estacionários são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de máximo local.

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