Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^4 + (y - 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos estacionários da função e classificá-los. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais para localizar os pontos onde a inclinação da função é zero em todas as direções. Depois, vamos aplicar o teste da derivada segunda para saber se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos estacionários resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o único ponto estacionário é .

Passo 4

Para classificar o ponto , usamos o teste da derivada segunda. Para isso, calculamos as seguintes derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana :
No ponto :
Quando e , temos um mínimo local. Mesmo que , observando a função original, vemos que é sempre maior ou igual a zero e atinge o mínimo em .

Resposta

O único ponto estacionário da função é , que é um mínimo local.

Exercícios relacionados

Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x * (y + 1) * e^(x + y - 1)
Seja f(x) = e^x / x^3. Esboce o gráfico de f(x) depois de (a) especificar o domínio da função
Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^3 - y^2 - 3x^2 - 2y
Siendo n un entero no nulo, mostrar que la función f(x, y) = x * sen(n * y) presenta en el punto ( 0, pi ) una ensilladura.