Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos estacionários da função
e classificá-los. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais para localizar os pontos onde a inclinação da função é zero em todas as direções. Depois, vamos aplicar o teste da derivada segunda para saber se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos estacionários resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o único ponto estacionário é
.
Passo 4
Para classificar o ponto
, usamos o teste da derivada segunda. Para isso, calculamos as seguintes derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
:
No ponto
:
Quando
e
, temos um mínimo local. Mesmo que
, observando a função original, vemos que
é sempre maior ou igual a zero e atinge o mínimo em
.
Resposta
O único ponto estacionário da função
é
, que é um mínimo local.
Exercícios relacionados
Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Siendo n un entero no nulo, mostrar que la función
presenta en el punto (
) una ensilladura.