Um tubo longo contem um gás sob pressão de 1,34 atm, à uma temperatura de 37,0^circ C. Uma das extremidades do tubo é aberta e a outra é fechada com um pistão (móvel). Um diapasão, próximo a extremidade aberta, vibra a 535 Hz enquanto o pistão é movimentado. Observa-se a ocorrência de ressonância nas posições consecutivas 12,94 cm, 38,82 cm e 64,70 cm medidos em relação a extremidade aberta do tubo. A razão gamma, entre o calor específico à pressão constante e o calor específico a volume constante, é 1,53 .
Calcule o novo comprimento de onda no caso da frequência aumentar em 154 Hz e a temperatura aumentar em 59,7^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo longo com gás sob pressão e temperatura específicas, uma extremidade aberta e outra fechada com um pistão móvel. Um diapasão vibra a 535 Hz causando ressonância em determinadas posições dentro do tubo. A gente precisa calcular o novo comprimento de onda quando a frequência aumenta e a temperatura também sobe. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em tubos, velocidade do som e como a temperatura e a frequência influenciam o comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as posições onde ocorre ressonância: 12,94 cm, 38,82 cm e 64,70 cm. Essas posições correspondem a diferentes modos de ressonância no tubo. Como o tubo tem uma extremidade fechada, os pontos de ressonância acontecem em posições que representam gradios de quarto de comprimento de onda.

Passo 3

Vamos calcular a diferença entre as posições consecutivas de ressonância para encontrar o comprimento de onda. A diferença entre 38,82 cm e 12,94 cm é de 25,88 cm, e entre 64,70 cm e 38,82 cm também é de 25,88 cm. Isso significa que essa diferença corresponde a meio comprimento de onda ( lambda2).

Passo 4

Agora, sabemos que lambda2 = 25,88 cm. Então, o comprimento de onda original ( lambda) é:
lambda = 2 times 25,88 cm = 51,76 cm
Convertendo para metros:
lambda = 0,5176 m

Passo 5

A velocidade do som no gás pode ser calculada usando a relação:
v = f times lambda
Onde f = 535 Hz e lambda = 0,5176 m. Então:
v = 535 times 0,5176 approx 276,076 m/s

Passo 6

Agora, vamos levar em conta o aumento na temperatura. Usamos a fórmula da velocidade do som em gases:
v = raizgamma times R times TM
Como a pressão e a quantidade de gás não mudam, e gamma é dado, a velocidade do som depende da raiz quadrada da temperatura absoluta T.

Passo 7

Primeiro, convertemos as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Temperatura inicial: 37,0^circC = 310,15 K
Aumento de temperatura: 59,7^circC, então nova temperatura:
Tnova = 37,0 + 59,7 + 273,15 = 369,85 K

Passo 8

A nova velocidade do som será proporcional à raiz quadrada da nova temperatura:
vnova = v times raizTnovaTinicial = 276,076 times raiz369,85310,15 approx 276,076 times 1,090 approx 300,7 m/s

Passo 9

Agora, a frequência também aumenta em 154 Hz, então a nova frequência é:
fnova = 535 + 154 = 689 Hz

Passo 10

Usando a relação v = f times lambda, podemos encontrar o novo comprimento de onda:
lambdanova = vnovafnova = 300,7689 approx 0,4369 m = 43,69 cm

Resposta

O novo comprimento de onda é aproximadamente 43,69 cm.

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