Um tubo longo contem um gás sob pressão de
, à uma temperatura de
. Uma das extremidades do tubo é aberta e a outra é fechada com um pistão (móvel). Um diapasão, próximo a extremidade aberta, vibra a 535 Hz enquanto o pistão é movimentado. Observa-se a ocorrência de ressonância nas posições consecutivas
e
medidos em relação a extremidade aberta do tubo. A razão
, entre o calor específico à pressão constante e o calor específico a volume constante, é 1,53 .
Calcule o novo comprimento de onda no caso da frequência aumentar em 154 Hz e a temperatura aumentar em
.
Calcule o novo comprimento de onda no caso da frequência aumentar em 154 Hz e a temperatura aumentar em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tubo longo com gás sob pressão e temperatura específicas, uma extremidade aberta e outra fechada com um pistão móvel. Um diapasão vibra a 535 Hz causando ressonância em determinadas posições dentro do tubo. A gente precisa calcular o novo comprimento de onda quando a frequência aumenta e a temperatura também sobe. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em tubos, velocidade do som e como a temperatura e a frequência influenciam o comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as posições onde ocorre ressonância: 12,94 cm, 38,82 cm e 64,70 cm. Essas posições correspondem a diferentes modos de ressonância no tubo. Como o tubo tem uma extremidade fechada, os pontos de ressonância acontecem em posições que representam gradios de quarto de comprimento de onda.
Passo 3
Vamos calcular a diferença entre as posições consecutivas de ressonância para encontrar o comprimento de onda. A diferença entre 38,82 cm e 12,94 cm é de 25,88 cm, e entre 64,70 cm e 38,82 cm também é de 25,88 cm. Isso significa que essa diferença corresponde a meio comprimento de onda (
).
Passo 4
Agora, sabemos que
. Então, o comprimento de onda original (
) é:
Convertendo para metros:
Passo 5
A velocidade do som no gás pode ser calculada usando a relação:
Onde
e
. Então:
Passo 6
Agora, vamos levar em conta o aumento na temperatura. Usamos a fórmula da velocidade do som em gases:
Como a pressão e a quantidade de gás não mudam, e
é dado, a velocidade do som depende da raiz quadrada da temperatura absoluta
.
Passo 7
Primeiro, convertemos as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Temperatura inicial:
Aumento de temperatura:
, então nova temperatura:
Passo 8
A nova velocidade do som será proporcional à raiz quadrada da nova temperatura:
Passo 9
Agora, a frequência também aumenta em 154 Hz, então a nova frequência é:
Passo 10
Usando a relação
, podemos encontrar o novo comprimento de onda:
Resposta
O novo comprimento de onda é aproximadamente
.