O hélio líquido entra em ebulição em aproximadamente 4K e o hidrogênio líquido a cerca de 20K. Qual o rendimento de uma máquina térmica reversível que opera entre essas duas fontes térmicas, a essas temperaturas? Se quisermos a mesma eficiência que a da máquina anterior, para uma máquina com uma fonte fria a temperatura de 300 K , qual deverá ser a temperatura da fonte quente?
R : varepsilon=80 % ; Th=1500 K.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois cenários envolvendo máquinas térmicas reversíveis:
  1. Primeiro cenário: Uma máquina térmica opera entre duas fontes de temperatura: hélio líquido a aproximadamente 4 K e hidrogênio líquido a cerca de 20 K. Queremos encontrar o rendimento dessa máquina.
  2. Segundo cenário: Queremos manter o mesmo rendimento encontrado no primeiro cenário, mas agora a máquina opera entre uma fonte fria a 300 K e precisamos descobrir qual deve ser a temperatura da fonte quente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de eficiência de uma máquina térmica reversível e utilizar a fórmula da eficiência de Carnot.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da eficiência ( varepsilon = 1 - TcTh ) de uma máquina térmica reversível, também conhecida como máquina de Carnot. A eficiência é dada por:
Onde:
  • é a eficiência,
  • é a temperatura da fonte fria,
  • é a temperatura da fonte quente.
As temperaturas devem estar na escala Kelvin (K).

Passo 3

Primeiro cenário:
Dados:
  • varepsilon = 1 - 420 (hélio l��quido),
  • varepsilon = 1 - 0.2 (hidrogênio líquido).
Queremos encontrar a eficiência varepsilon = 0.8 dessa máquina.
Substituindo na fórmula:
varepsilon = 80%
Convertendo para porcentagem:

Passo 4

Segundo cenário:
Queremos manter a mesma eficiência ( varepsilon = 1 - TcTh ) para uma máquina que agora opera com:
  • TcTh = 1 - varepsilon (nova fonte fria).
Precisamos encontrar Th = Tc1 - varepsilon (temperatura da nova fonte quente).
Rearranjando a fórmula da eficiência para encontrar Th = 3001 - 0.8 = 3000.2 = 1500,K :
Isolando :
Substituindo os valores conhecidos ( ):

Resposta

O rendimento da máquina térmica reversível é de . Para manter essa eficiência com uma fonte fria a , a temperatura da fonte quente deve ser .

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