Um mol de gás ideal se expande adiabaticamente contra uma pressão externa constante de 1,0atm. A temperatura inicial do gás era 427^circ C. A pressão baixa de 2,0 para 1,0 atm. O calor molar a volume constante do gás é 5,0 cal / mol.K. Qual a variação de entropia do gás?
R : De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a variação de entropia de um mol de gás ideal que se expande adiabaticamente. Primeiro, é importante entender que uma expansão adiabática significa que não há troca de calor com o ambiente ( Q = 0). Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente as relações envolvendo entropia e processos adiabáticos.

Passo 2

Como o processo é adiabático, sabemos que Q = 0. Mas mesmo sem troca de calor, a entropia do sistema pode mudar se o processo não for reversível. Para calcular a variação de entropia ( De), usaremos a fórmula:
De
Como o processo não é necessariamente reversível, precisamos encontrar um caminho reversível que leve o gás do estado inicial ao final para calcular De.

Passo 3

Vamos considerar um caminho reversível onde o gás passa por duas etapas: primeiro a expansão à temperatura constante e depois o resfriamento até a temperatura final. Porém, nesse caso específico, como o processo é adiabático e envolve variação de pressão, podemos usar a relação direta para a entropia em processos de gás ideal.

Passo 4

A variação de entropia para um gás ideal pode ser calculada pela fórmula:
De
Onde:
  • n é o número de mols
  • CV é o calor molar a volume constante
  • R é a constante dos gases
  • Tf e Ti são as temperaturas final e inicial
  • Vf e Vi são os volumes final e inicial

Passo 5

Primeiro, vamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin:
Ti = 427^circC + 273 = 700 , K
A pressão final é 1,0 , atm e a inicial é 2,0 , atm. Como o processo é adiabático para um gás ideal, podemos relacionar as temperaturas e volumes usando a relação adiabática:
Ti Vi^gamma -1 = Tf Vf^gamma -1
Onde gamma = CPCV e para ideal gás gamma = CV + RCV.

Passo 6

Vamos calcular gamma usando CV = 5,0 , cal/molK e R = 1,987 , cal/molK (convertendo R para cal):
gamma = 5,0 + 1,9875,0 = 6,9875,0 approx 1,397

Passo 7

Agora, relacionando as pressões e volumes:
Pi Vi^gamma = Pf Vf^gamma
Como Pi = 2,0 , atm e Pf = 1,0 , atm:
2,0 times Vi^1,397 = 1,0 times Vf^1,397
VfVi = 2^1/1,397 approx 2^0,716 approx 1,65

Passo 8

Agora, usando a relação para a variação de entropia:
De
Primeiro, precisamos encontrar Tf. Usando a relação adiabática:
Tf = Ti (ViVf)^gamma -1 = 700 times (1/1,65)^0,397 approx 700 times 0,85 approx 595 , K

Passo 9

Agora, substituindo os valores na fórmula da entropia:
De
Calculando cada termo:
ln(595700) approx ln(0,85) approx -0,1625
ln(1,65) approx 0,500
Então:
De
Convertendo para Joules por Kelvin (1 cal = 4,184 J):
0,181 times 4,184 approx 0,758 , J/K

Resposta

A variação de entropia do gás é aproximadamente De.

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