Úm hexágono regular tem o seu centro no pólo e dois lados paralelos ao eixo polar. Se o comprimento de um lado é igual a 2 unidades, determine o conjunto principal de coordenadas polares de cada um dos seus seis vértices.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre um hexágono regular que está centralizado no polo (ou seja, na origem do sistema de coordenadas polares) e tem dois lados paralelos ao eixo polar. Cada lado do hexágono mede 2 unidades. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares de cada um dos seis vértices desse hexágono.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de coordenadas polares, cada ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto ao polo (centro) e
é o ângulo que o ponto faz com o eixo polar (geralmente o eixo positivo x).
Passo 3
Para um hexágono regular, todos os lados e ângulos são iguais. Há uma fórmula que relaciona o comprimento do lado
com a distância do centro ao vértice
:
Onde
é o número de lados do polígono. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Portanto, a distância do centro ao vértice
é 2 unidades.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os ângulos
para cada vértice. Um hexágono regular tem seus vértices espaçados uniformemente em torno do círculo, com um ângulo central de:
No entanto, como o hexágono tem dois lados paralelos ao eixo polar, precisamos ajustar nossa referência inicial. Isso significa que vamos girar o hexágono em
para que os lados fiquem paralelos ao eixo, em vez dos vértices.
Passo 6
Com essa rotação, os ângulos dos vértices serão:
Resposta
As coordenadas polares dos seis vértices do hexágono são:
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Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
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Converta de graus para radianos.
© .
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Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular.
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