Úm hexágono regular tem o seu centro no pólo e dois lados paralelos ao eixo polar. Se o comprimento de um lado é igual a 2 unidades, determine o conjunto principal de coordenadas polares de cada um dos seus seis vértices.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre um hexágono regular que está centralizado no polo (ou seja, na origem do sistema de coordenadas polares) e tem dois lados paralelos ao eixo polar. Cada lado do hexágono mede 2 unidades. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares de cada um dos seis vértices desse hexágono.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de coordenadas polares, cada ponto é representado por , onde é a distância do ponto ao polo (centro) e é o ângulo que o ponto faz com o eixo polar (geralmente o eixo positivo x).

Passo 3

Para um hexágono regular, todos os lados e ângulos são iguais. Há uma fórmula que relaciona o comprimento do lado com a distância do centro ao vértice :
Onde é o número de lados do polígono. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar :
Sabemos que , então:
Portanto, a distância do centro ao vértice é 2 unidades.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os ângulos para cada vértice. Um hexágono regular tem seus vértices espaçados uniformemente em torno do círculo, com um ângulo central de:
No entanto, como o hexágono tem dois lados paralelos ao eixo polar, precisamos ajustar nossa referência inicial. Isso significa que vamos girar o hexágono em para que os lados fiquem paralelos ao eixo, em vez dos vértices.

Passo 6

Com essa rotação, os ângulos dos vértices serão:

Resposta

As coordenadas polares dos seis vértices do hexágono são:

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Converta de graus para radianos.
© .
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. .