Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que você passou:
Matéria envolvida: Equações diferenciais separáveis.
O que vamos precisar: Saber como separar as variáveis da equação e integrar ambos os lados corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro.
Começamos multiplicando ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora, observe que pode ser separado em . Assim, nossa equação fica:
Mas como temos funções de e juntas, precisamos reorganizar para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por :
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado individualmente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
Integral do lado esquerdo:
Para integrar , usamos a técnica de integração por partes. Sabemos que:
Integral do lado direito:
Para integrar , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial ,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Determine para os valores de abaixo.
(a) .
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Úm hexágono regular tem o seu centro no pólo e dois lados paralelos ao eixo polar. Se o comprimento de um lado é igual a 2 unidades, determine o conjunto principal de coordenadas polares de cada um dos seus seis vértices.