Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que você passou:
Matéria envolvida: Equações diferenciais separáveis.
O que vamos precisar: Saber como separar as variáveis da equação e integrar ambos os lados corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro.
Começamos multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Agora, observe que
pode ser separado em
. Assim, nossa equação fica:
Mas como temos funções de
e
juntas, precisamos reorganizar para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar cada lado individualmente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Integral do lado esquerdo:
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes. Sabemos que:
Integral do lado direito:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 5
Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Determine
para os valores de
abaixo.
(a) .
(a)
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Úm hexágono regular tem o seu centro no pólo e dois lados paralelos ao eixo polar. Se o comprimento de um lado é igual a 2 unidades, determine o conjunto principal de coordenadas polares de cada um dos seus seis vértices.