Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
d y/d x = x^2 y - y + x^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma equação diferencial que é separável. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis (no caso, e ) em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor como separar as variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar nos termos que contém ele:
Note que e o termo constante estão multiplicados por , o que facilita a separação.

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que contêm de um lado e os termos que contêm do outro lado. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Isso nos permite separar as variáveis e .

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação contém apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Começando com o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntando as duas integrações, temos:
Para resolver para , vamos isolar :
Podemos simplificar a constante como uma nova constante :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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