Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma equação diferencial que é separável. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis (no caso,
e
) em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor como separar as variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar
nos termos que contém ele:
Note que
e o termo constante
estão multiplicados por
, o que facilita a separação.
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro lado. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Isso nos permite separar as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação contém apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Começando com o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntando as duas integrações, temos:
Para resolver para
, vamos isolar
:
Podemos simplificar a constante
como uma nova constante
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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,
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