Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma equação diferencial que é separável. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis (no caso, e ) em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor como separar as variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar nos termos que contém ele:
Note que e o termo constante estão multiplicados por , o que facilita a separação.

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que contêm de um lado e os termos que contêm do outro lado. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Isso nos permite separar as variáveis e .

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação contém apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Começando com o lado esquerdo:
E o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntando as duas integrações, temos:
Para resolver para , vamos isolar :
Podemos simplificar a constante como uma nova constante :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
Considere a equação diferencial ,
Resolva a equação diferencial e esboce os gráficos das soluções.
Úm hexágono regular tem o seu centro no pólo e dois lados paralelos ao eixo polar. Se o comprimento de um lado é igual a 2 unidades, determine o conjunto principal de coordenadas polares de cada um dos seus seis vértices.
Converta de graus para radianos.
© .