Determine a, b e c de modo que:
os planos Omega: 4 x-3 a y+6 z=8 e Gamma: 2 x-6 y+b z=-10 sejam paralelos e distintos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos definidos pelas equações:
  • Plano Ω:
  • Plano Γ:
A tarefa é encontrar os valores de e de forma que esses dois planos sejam paralelos e distintos. Para isso, vamos precisar saber sobre vetores normais de planos e condições para planos serem paralelos e distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de nOmega = k cdot nGamma , e na equação do plano. Então:
  • Vetor normal do plano Ω:
  • Vetor normal do plano Γ:
Para que os planos sejam paralelos, os vetores normais devem ser múltiplos um do outro. Ou seja, deve existir um número real tal que:
Isso significa que cada componente de é igual a vezes a correspondente componente de .

Passo 3

Vamos igualar as componentes dos vetores normais:


  1. Substituindo :


  2. Substituindo :

Passo 4

Agora que encontramos 8-10 = -45 e , precisamos verificar se os planos são realmente distintos. Para isso, as razões dos termos constantes devem ser diferentes das razões dos coeficientes dos vetores normais.
A razão dos termos constantes:
Enquanto a razão dos coeficientes já vimos que é . Como , os planos são distintos.

Resposta

Os valores são e .

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